[論文レビュー] On the growth rate of tunnel number of knots

Tsuyoshi Kobayashi, Yo’av Rieck|ArXiv.org|Feb 3, 2004

Geometric and Algebraic Topology参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、3次元多様体のヒーガード genus とその中に含まれる絡み目のトンネル数の漸近的成長率の間の明確な関係を確立する。成長率が1未満であることは、かつそれが、埋め込まれた多様体のヒーガード genus が絡み目の外部のそれより厳密に小さいことと同値であることを証明しており、S³ 内の非自明な絡み目が常に漸近的に超加法的でないことを示し、トンネル数の加法性に関するモリモト予想を反証するための基準を提供する。

ABSTRACT

Given a knot $K$ in a closed orientable manifold $M$ we define the growth rate of the tunnel number of $K$ to be $gr_t(K) = \limsup_{n o \infty} \frac{t(nK) - n t(K)}{n-1}$. As our main result we prove that the Heegaard genus of $M$ is strictly less than the Heegaard genus of the knot exterior if and only if the growth rate is less than 1. In particular this shows that a non-trivial knot in $S^3$ is never asymptotically super additive. The main result gives conditions that imply falsehood of Morimoto's Conjecture.

研究の動機と目的

• 繰り返しの連結和操作における絡み目のトンネル数の漸近的挙動を理解すること。
• トンネル数が部分加法的、加法的、または超加法的に成長する条件を特定すること。
• 成長率不変量を用いて、トンネル数の加法性に関するモリモト予想を反証するための基準を提供すること。
• 成長率が1未塔であるような絡み目の特徴を、特にヒーガード genus および縁面的最小性と関連付けて特定すること。

提案手法

• 連結和における挙動を分析するために、トンネル数の成長率を $ gr_t(K) = \limsup_{m\to\infty} \frac{t(mK) - m t(K)}{m-1} $ として定義する。
• ヘガード分割と最小位数の曲面を用いて、トンネル数を埋め込み多様体および絡み目の外部のヒーガード genus と関連付ける。
• 3次元多様体トポロジーの結果を適用する。特に、ハーケンのヒーガード genus の連結和における加法性および縁面的曲面の性質を用いる。
• 原始的縁面および縁面的最小絡み目の存在を活用し、成長率の上限を導出する。
• ドーナツの手術と同相変形の議論を用いて、制御された成長率を持つ無限個の絡み目の族を構成する。
• 成長率が $ gr_t(K) = 1 $ であることは、かつそれが $ g(M) = g(E(K)) $ であることと同値であることを証明する。すなわち、絡み目が最小位数の分割におけるハンドル体の核であるときである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、絡み目のトンネル数が漸近的に部分加法的となるか？
• RQ2 トンネル数の成長率を用いて、トンネル数の加法性に関するモリモト予想を反証できるか？
• RQ3 埋め込み多様体のヒーガード genus と絡み目のトンネル数成長率との間の明確な関係は何か？
• RQ4 どのような絡み目に対して成長率が1未塔となるか？また、そのような状況を引き起こすトポロジー的条件は何か？
• RQ5 絡み目のブリッジ指数は、そのトンネル数成長率とどのように関係するか？

主な発見

• 成長率 $ gr_t(K) < 1 $ であることは、かつそれが、埋め込み多様体 $ M $ のヒーガード genus が絡み目の外部 $ E(K) $ のそれより厳密に小さいことと同値である。
• S³ 内の任意の非自明な絡み目に対して、成長率は1未塔であるため、このような絡み目は決して漸近的に超加法的でない。
• もし $ g(M) = g(E(K)) $ であれば、$ t(nK) = n t(K) + (n-1) $ が成り立ち、$ gr_t(K) = 1 $ であり、極限が存在する。
• S³ 内のトーラス絡み目に対しては、成長率は正確に0である。これは、それらが縁面的最小であり、$ t(nK) \geq n t(K) $ を満たすからである。
• 無限個の $ gr_t(K) = 0 $ を満たす絡み目が存在する。これは、最小位数のヘガード曲面に埋め込まれた絡み目のドーナツの手術により構成される。
• K_m = K(7,17;10m-4) の例は $ gr_t(K_m) \leq \frac{1}{2} $ を満たし、これらは (1,2)-絡み目である。このことから、モリモト予想に対する反例が得られる。