[論文レビュー] On the H\\"{o}pf Boundary Lemma for quasilinear problems involving singular nonlinearities and applications

Francesco Esposito, Berardino Sciunzi|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2018

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 28被引用数 24

ひとこと要約

本稿は、$C^{2,\alpha}$ 域における $-\Delta_p u = u^{-\gamma} + f(u)$ 形式の特異非線形性を有する擬線形楕円型方程式に対して、一般化された Höpf 境界補題を確立する。境界付近における新しいスケーリング論法を導入することで、解が境界上で $C^1$ 正則性を持たない場合でさえ、境界近傍で法線微分 $\partial_\nu u > 0$ の鋭い推定が得られる。主な貢献は、半空間における解の分類結果であり、解が境界付近で $M x_N^{p/(̳+p-1)}$ のように振る舞うことを示し、対称性に関する結果を得るための移動平面法の適用を可能にする。

ABSTRACT

In this paper we consider positive solutions to quasilinear elliptic problem with singular nonlinearities. We provide a H\\"{o}pf type boundary lemma via a suitable scaling argument that allows to deal with the lack of regularity of the solutions up to the boundary.

研究の動機と目的

• 特異非線形性を有する擬線形楕円型問題において、解が境界付近で $C^1$ 正則性を示さないという問題に対処すること。
• $C^1$ 境界正則性に依存する標準的比較法を回避する、新しい境界解析技法の開発。
• 勾配が発散する場合でさえも、正の解の境界付近における法線微分の鋭い推定を確立すること。
• 半空間における解の分類結果を証明し、境界付近での正確な漸近的挙動を特定すること。
• 新規境界補題を用いて、対称領域における移動平面法を応用し、対称性および単調性に関する結果を証明すること。

提案手法

• 有界領域における元の問題から、半空間 $\mathbb{R}^N_+$ における極限問題へと移行するためのスケーリング論法が用いられる。
• 半空間 $\mathbb{R}^N_+$ における極限問題 $-\Delta_p u = u^{-\gamma}$ が、べき関数的減衰仮定の下で解の分類のために解析される。
• 第一固有関数 $\phi_1$ を用いた形 $u_1 = s_1 \phi_1^t$ および $u_2 = s_2 \phi_1^t$ の subsolution および supersolution を用いて、境界近傍で比較原理が適用される。
• 解 $u$ がスケーリングされたバージョン $\beta u$ と比較され、境界近傍 $I_\delta(\partial\Omega)$ における下界および上界が得られる。
• 弱比較原理（補題 3.1）が、異なるスケーリング係数を持つ解の間の厳密な比較に用いられ、領域内で不等式が成立することを保証する。
• 移動平面法が新規境界補題と併用され、厳密に凸で対称な領域における解の対称性および単調性が証明される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 解が境界上で $C^1$ でない場合に、特異非線形性を有する擬線形問題に対して Höpf 型境界補題を確立できるか？
• RQ2 特異 $p$-ラプラシアン設定下で、解の境界付近における正確な漸近的挙動は何か？
• RQ3 境界正則性が欠如するにもかかわらず、移動平面法を特異擬線形問題に成功裏に適用できるか？
• RQ4 スケーリング論法をどのように用いて、境界挙動の解析を半空間における問題に還元できるか？
• RQ5 特異性が存在する状況下で、解の法線微分が境界付近で正のままであるための条件は何か？

主な発見

• Höpf 型境界補題が証明された：任意の $\beta > 0$ に対して、境界近傍 $I_\delta(\partial\Omega)$ が存在し、法線方向 $\nu(x)$ が内法線 $\eta(x)$ と $\beta$ 以上の角度をなす限り $\partial_\nu u > 0$ が成り立つ。
• 境界 $\partial\mathbb{R}^N_+$ で $u=0$ を満たす半空間 $\mathbb{R}^N_+$ における解 $-\Delta_p u = u^{-\gamma}$ は、$u(x) = M x_N^{p/(̳+p-1)}$ と分類され、ここで $M = \left[\frac{(\gamma+p-1)^p}{p^{p-1}(p-1)(\gamma-1)}\right]^{1/(̳+p-1)}$ である。
• $C^{2,\alpha}$ 有界領域 $\Omega$ において、解 $u$ は境界近傍で $m_1 \text{dist}(x,\partial\Omega)^{p/(̳+p-1)} \leq u(x) \leq m_2 \text{dist}(x,\partial\Omega)^{p/(̳+p-1)}$ を満たし、$m_1, m_2 > 0$ である明示的定数が与えられる。
• 移動平面法が、厳密に凸で対称な領域における正の解が、対称超平面に関して対称的であり、かつ対称方向に厳密に増加していることを証明するために成功裏に適用された。
• 領域 $\Omega$ が球である場合、解は径向的で径方向に単調減少であることが示され、結果は径向的対称性へと拡張された。
• 解の $C^1$ 境界正則性に依存しないように、スケーリング論法と半空間におけるべき関数型 subsolution および supersolution との比較を用いることで、証明技法が回避された。