[論文レビュー] On the Hörmander classes of bilinear pseudodifferential operators II

Árpád Bényi, Frédéric Bernicot+3 more|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2011

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 31被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、十分に負の順序 $m$ に対して、Hörmander の二重線形クラス $BS^m_{\rho,\rho}$ に属する記号を持つ二重線形擬微分作用素の有界性を確立し、強い $L^p \times L^q \to L^r$ 評価、弱型端点評価、および Fefferman の $L^\infty \to \text{BMO}$ 結果の二重線形版を証明する。符号がゼロ順序である作用素が一般には積分可 summable 空間上に有界でないことが示され、線形の場合とは著しく対照的である。複素補間と核推定を用いて、バナッハ三角形領域を超えた結果を拡張する。

ABSTRACT

Boundedness properties for pseudodifferential operators with symbols in the bilinear Hörmander classes of sufficiently negative order are proved. The results are obtained in the scale of Lebesgue spaces and, in some cases, end-point estimates involving weak-type spaces and BMO are provided as well. From the Lebesgue space estimates, Sobolev ones are then easily obtained using functional calculus and interpolation. In addition, it is shown that, in contrast with the linear case, operators associated with symbols of order zero may fail to be bounded on products of Lebesgue spaces.

研究の動機と目的

• Lebesgue 空間上での $BS^m_{\rho,\rho}$ に属する記号を持つ二重線形擬微分作用素の有界性を、十分に負な $m$ に対して確立すること。
• 開かれている問題である、$BS^0_{\rho,\rho}$ 作用素が積分可 summable 空間上に有界であるかどうかを解き、一般には有界でないことを示すこと。
• 従来の結果を超えて、$BS^m_{\rho,\rho}$ 作用素が $L^{p_1} \times L^{p_2} \to L^p$ に有界である $m$ の範囲を拡張すること。
• Fefferman の $L^\infty \to \text{BMO}$ 結果の二重線形版を、$BS^{-(1-\rho)n}_{\rho,0}$ に対して $0 < \rho < 1/2$ の場合に証明すること。
• 二重線形 Muckenhoupt 重み $A_{(p_1,p_2),q}$ を用いて、これらの作用素に対する重み付きノルム不等式を構築すること。

提案手法

• 既存の研究からの記号的計算および核推定を用いて、二重線形作用素の挙動を分析すること。
• 複素補間を応用し、既知のクラスからより広い $m$ の範囲への有界性結果を拡張すること。
• 十分に負な $m$ に対して Calderón-Zygmund 理論を適用し、弱型および強型評価を導出すること。
• 線形の場合の Fefferman の技法を適応するが、二重線形設定における Calderón-Villancourt 定理の失敗を克服するための新しい議論を導入すること。
• dyadic 分解および周波数局在化を用いて、記号の微分を制御し、$L^p$ 評価を導出すること。
• 二重線形 Muckenhoupt 現象 $A_{(p_1,p_2),q}$ を用いた重み付きノルム推定により、結果を重み付き Lebesgue 空間に拡張すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 記号が $BS^0_{\rho,\rho}$ に属する二重線形擬微分作用素は、$1 \leq p_1, p_2, p \leq \infty$ の場合に $L^{p_1} \times L^{p_2} \to L^p$ に有界であるだろうか？
• RQ2 作用素 $BS^m_{\rho,\rho}$ が $L^{p_1} \times L^{p_2} \to L^p$ に有界であるような、最適な負の順序 $m$ の範囲は何か？
• RQ3 Fefferman の $L^\infty \to \text{BMO}$ 結果の二重線形版は、$0 < \rho < 1/2$ の場合に $BS^{-(1-\rho)n}_{\rho,0}$ に対して成り立つだろうか？
• RQ4 二重線形 Muckenhoupt 現象 $A_{(p_1,p_2),q}$ を用いて、$BS^m_{\rho,\rho}$ 作用素に対する重み付き評価を確立できるだろうか？
• RQ5 記号パrameter $\rho < 1$ の場合、二重線形作用素の有界性特性は線形の場合とどのように異なるのだろうか？

主な発見

• 順序 $m < 2n(\rho - 1)$ を満たす $BS^m_{\rho,\rho}$ 作用素は、$1 < p_1, p_2 < \infty$ および $1/p = 1/p_1 + 1/p_2$ の場合に $L^{p_1} \times L^{p_2} \to L^p$ に有界であり、作用素ノルムは $\|\sigma\|_{K,N}$ によって制御される。
• $m < 2n(\rho - 1)$ の場合、$p_1 = 1$ または $p_2 = 1$ のとき、弱型評価 $L^{p_1} \times L^{p_2} \to L^{p,\infty}$ も同様に成り立ち、同じノルム制御が成り立つ。
• Fefferman の結果の二重線形版が証明された：$0 < \rho < 1/2$ の場合、$BS^{-(1-\rho)n}_{\rho,0}$ は $L^\infty \times L^\infty \to \text{BMO}$ を写像する。
• $BS^0_{\varrho,\delta}$ 作用素が、$\delta < \rho < 1$ であっても、任意の Lebesgue 空間の積上に有界でないことがあることが示され、重要な未解決問題が解決された。
• 重み付き評価が確立された：$\sigma \in BS^m_{\rho,\delta}$ で $m \leq 2n(\rho - 1) - \rho s$ の場合、$A_{(p_1,p_2),q}$ 条件の下で作用素 $T_\sigma$ は $L^{p_1}_{w_1} \times L^{p_2}_{w_2} \to L^q_w$ に有界である。
• 補間および関数解析的計算を用いてソボレフ評価が得られ、$L^2 \times L^2 \to L^2$ の有界性が高階のソボレフ空間へ拡張された。