[論文レビュー] On the Hörmander multiplier theorem and modulation spaces

Naohito Tomita|ArXiv.org|Apr 21, 2008

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ホルマンダー乗数定理におけるベゾフ空間 $ B^{2,1}_{n/2} $ の代わりにモジュレーション空間 $ M^{2,1}_0 $ を用いることができるかを検討する。$ s > 0 $ の場合、補間と双対性を用いることで $ M^{2,1}_s $ はフーリエ乗数の $ L^p $-有界性を保証するが、臨界ケース $ s = 0 $ では失敗する。すなわち、$ M^{2,1}_0 $ で有界な乗数が $ p \neq 2 $ のとき $ L^p $ で有界でない例が存在し、$ M^{2,1}_0 $ は $ B^{2,1}_{n/2} $ を置き換えるのに不十分であることが示される。

ABSTRACT

It is known that the Sobolev space $L^2_s$ with $s>n/2$ appeared in the Hörmander multiplier theorem can be replaced by the Besov space $B^{2,1}_{n/2}$. On the other hand, the Besov space $B_{n/2}^{2,1}$ is continuously embedded in the modulation space $M^{2,1}_0$. In this paper, we consider the problem whether we can replace $B_{n/2}^{2,1}$ by $M^{2,1}_0$.

研究の動機と目的

• モジュレーション空間 $ M^{2,1}_0 $ がホルマンダー乗数定理においてベゾフ空間 $ B^{2,1}_{n/2} $ を置き換えられるかどうかを確立すること。
• $ 1 < p < \infty $ の範囲で、$ M^{2,1}_s $、$ B^{2,1}_{n/2} $、およびフーリエ乗数の $ L^p $-有界性との関係を分析すること。
• $ B^{2,1}_{n/2} \hookrightarrow M^{2,1}_0 $ の埋め込みの鋭さと、乗数定理に与える影響を調査すること。
• $ M^{2,1}_s $-に基づく乗数条件における臨界ケース $ s = 0 $ の役割を明確にすること。
• $ p \neq 2 $ のとき $ \sup_j \|m_j\|_{M^{2,1}_0} < \infty $ が $ L^p $-有界性を示さない反例を提供すること。

提案手法

• 乗数を周波数に局所化するために、$ \psi $ をアニュラスに台を持つ滑らかなカットオフ関数として、$ m_j(\xi) = \psi(\xi) m(2^j \xi) $ の分解を用いる。
• モジュレーション空間ノルムとフーリエ像ノルムを結ぶノルム同値性 $ \|m_j\|_{M^{2,1}_s} \asymp \|(I - \Delta)^{s/2} m_j\|_{\mathcal{F}L^1} $ を用いて、主要な推定を行う。
• トフトおよびスギモト＝トミタの埋め込み結果を用いて、$ B^{2,1}_{n/2} $ と $ M^{2,1}_0 $ を比較し、$ 0 < s < n/2 $ のとき包含関係が成り立たないことを示す。
• 補間と双対性の議論を用いて、$ \sup_j \|m_j\|_{M^{2,1}_s} < \infty $ かつ $ s > 0 $ のもとで、$ H^1 $ から $ L^p $（$ 1 < p < \infty $）への有界性を拡張する。
• トリアベルの反例を変形し、$ \sup_j \|m_j\|_{M^{2,1}_0} < \infty $ であっても $ p \neq 2 $ のとき $ L^p $-有界性が保証されないことを示す。ここでは $ \mathcal{F}^{-1}m \in B^{1,\infty}_0 $ の性質を用いる。
• ノルム同値性 $ \|m_j\|_{M^{p,1}_s} \asymp \|(I - \Delta)^{s/2} m_j\|_{\mathcal{F}L^1} $ を用いて、$ 1 \leq p \leq \infty $ の $ M^{p,1}_s $ への結果の一般化を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モジュレーション空間 $ M^{2,1}_0 $ はホルマンダー乗数定理においてベゾフ空間 $ B^{2,1}_{n/2} $ を置き換えられるか？
• RQ2 $ p \neq 2 $ のとき、条件 $ \sup_j \|m_j\|_{M^{2,1}_0} < \infty $ は $ m(D) $ の $ L^p $-有界性を十分に保証するか？
• RQ3 $ 0 < s < n/2 $ のとき、$ B^{2,1}_{n/2} $ と $ M^{2,1}_s $ の関係は何か？ これは乗数の有界性に影響を与えるか？
• RQ4 埋め込み $ B^{2,1}_{n/2} \hookrightarrow M^{2,1}_0 $ が成立するが、これにより $ M^{2,1}_0 $ が乗数定理に十分であると結論づけられるか？
• RQ5 $ M^{2,1}_s $ の臨界ケース $ s = 0 $ は、フーリエ乗数の $ L^p $-有界性を特徴づけるために用いられるか？

主な発見

• 定理1.1は、ある $ s > 0 $ に対して $ \sup_j \|m_j\|_{M^{2,1}_s} < \infty $ ならば、$ m(D) $ が $ H^1(\mathbb{R}^n) $ 上で有界であり、補間と双対性により、すべての $ 1 < p < \infty $ に対して $ L^p(\mathbb{R}^n) $ 上でも有界であることを確立する。
• 系1.2は、$ \sup_j \|\widehat{m_j}\|_{K^{1,1}_s} < \infty $ ならば $ H^1 $-有界性が保証され、これはバーンシュタイン＝ソーヤーの結果の特別な場合であることを示す。
• 系1.3は、$ 1 \leq p \leq \infty $ の $ M^{p,1}_s $ に結果を拡張し、$ \sup_j \|m_j\|_{M^{p,1}_s} < \infty $ かつ $ s > 0 $ ならば $ H^1 $-有界性が成り立つことを示す。
• 命題1.4は否定的解答を提供する：ある乗数 $ m \in \mathcal{S}'(\mathbb{R}^n) $ が存在し、$ \sup_j \|m_j\|_{M^{2,1}_0} < \infty $ であるが、$ m(D) $ は $ p \neq 2 $ のすべての $ L^p(\mathbb{R}^n) $ で有界でない。
• $ B^{2,1}_{n/2} \hookrightarrow M^{2,1}_0 $ は成立するが、逆は成り立たず、$ 0 < s < n/2 $ の範囲では $ B^{2,1}_{n/2} $ と $ M^{2,1}_s $ の間に包含関係は存在しない。これは、これらの空間がこの範囲では比較不能であることを示している。
• ノルム同値性 $ \|m_j\|_{M^{2,1}_s} \asymp \|(I - \Delta)^{s/2} m_j\|_{\mathcal{F}L^1} $ が、$ (I - \Delta)^{s/2} m_j $ のフーリエ像を用いて確立され、モジュレーション空間ノルムとフーリエ制限推定との関連が示される。