[論文レビュー] On the Hamilton-Waterloo Problem with triangle factors and $C_{3x}$-factors

John Asplund, David C. Kamin+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2015

graph theory and CDMA systems参考文献 8被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、完全グラフ Kᵥ における三角形因子（C₃）および C₃ₓ-因子のハミルトン＝ウォーターヒューズ問題を解き、v = 3xy かつ x ≥ 2 の奇数 v に対してほぼすべてのケースを確立している。可解な群可除設計（RGDD）および等分割因子分解を用いた一般化された再帰的構成法を提供し、s=1 のときや特定の小さな y および x 値の場合を除き、有限個の例外値を除いて問題を解決している。

ABSTRACT

The Hamilton-Waterloo Problem (HWP) in the case of $C_{m}$-factors and $C_{n}$-factors asks if $K_v$, where $v$ is odd (or $K_v-F$, where $F$ is a 1-factor and $v$ is even), can be decomposed into r copies of a 2-factor made either entirely of $m$-cycles and $s$ copies of a 2-factor made entirely of $n$-cycles. In this paper, we give some general constructions for such decompositions and apply them to the case where $m=3$ and $n=3x$. We settle the problem for odd $v$, except for a finite number of $x$ values. When $v$ is even, we make significant progress on the problem, although open cases are left. In particular, the difficult case of $v$ even and $s=1$ is left open for many situations.

研究の動機と目的

• v = 3xy かつ x ≥ 2 のとき、完全グラフ Kᵥ における三角形因子（C₃）および C₃ₓ-因子のハミルトン＝ウォーターヒューズ問題を解くこと。
• 既存の均一サイクル分解に関する結果を一般化し、ハミルトニアンサイクルから C₃ₓ-因子への拡張を行うこと。
• 可解な群可除設計（RGDD）および等分割因子分解を用いた再帰的構成法を開発し、小さなグラフから大きな v に対する解を構築すること。
• （3,3x）–HWP(v;r,s) 問題において、特に s=1 の場合に、有限個の例外を除き、すべてのケースを特定・解決すること。

提案手法

• h^u 型の可解な 3-RGDD を用いて、Kᵥ を C₃ および C₃ₓ-因子に分解する解を構築する。
• 補題 14 および補題 15 を適用し、K₁₂ や K₂₄ などの小さなグラフからの分解を平行クラスの和を用いて結合して、より大きなグラフに拡張する。
• 定理 3 を用いて、完全等分割グラフ K_(h:u) における Cₘ-因子分解を確立し、K_(3xy) を C₃ および C₃ₓ-因子に分解可能であることを保証する。
• 定理 2 を用いて、v ≡ 0 mod m のとき Kᵥ における Cₘ-因子分解を確立し、再帰的構成の基本ケースを保証する。
• 補題 16 を用いて、等分割グラフの各部に C₃ および C₁₂-因子を組み合わせることで、K₁₂ から K₂₄ および K₄₈ への解の拡張を行う。
• 必要条件（定理 1 からのもの）を体系的に検証し、奇数 v に対しては r+s = (v−1)/2、偶数 v に対しては r+s = (v−2)/2 が成り立つことを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 v = 3xy が奇数で s > 0 のとき、(3,3x)–HWP(3xy;r,s) が存在する x および y の値は何か？
• RQ2 可解な群可除設計および等分割因子分解を用いた再帰的構成法により、s=1 の場合に (3,3x)–HWP を有限個の例外を除きすべてのケースで解決できるか？
• RQ3 特に s=1 で v が偶数のとき、(3,3x)–HWP(3xy;r,s) が未解決のまま残る x および y の正確な例外値は何か？
• RQ4 K_(h:u) の各部に C₃ および C₃ₓ-因子分解をどのように組み合わせて、より大きな v に対する解を構築できるか？
• RQ5 x および y にどのような条件を課すと、(3,12)–HWP(12y;r,s) の場合にすべての s ∈ {0,1,…,6y−1} が実現可能になるか？

主な発見

• 本稿は、x ≥ 2 かつ奇数 v = 3xy のすべてのケースについて、s=1 のときの有限個の例外を除き、(3,3x)–HWP(3xy;r,s) を解決している。
• 偶数 v = 3xy の場合、s=1 かつ x ∈ {3,31,37,41,43,47,51,53,59,61,67,69,71,79,83} のとき、または x および y に特定の合同条件がある場合を除き、問題はすべて解決されている。
• s=1 の場合、y ≥ 3 かつ x が奇数のとき、あるいは x ≡ 2 mod 12 かつ x ≥ 6 のとき、多くの x に対して未解決のまま残っている。
• y ≥ 5 または y=3 のとき、(3,12)–HWP(12y;r,s) は s ∈ {0,1,…,6y−1} のすべての s に対して存在するが、少数の小さな例外を除く。
• 本稿は、3-RGDD および K₁₂ 上の基本解を用いて、すべての s ∈ {1,2,…,3y−1} および s=0 に対して (3,6)–HWP(6y;r,s) を明示的に構成している。
• 定理 3 を用いた K_(h:u) における C₃ および C₃ₓ-因子分解の存在により、等分割分解技法を用いてより大きなグラフに対する解の構築が可能である。