[論文レビュー] On the Hamiltonian Description of Fluid Mechanics

I. Αντωνίου, G. P. Pronko|ArXiv.org|Jun 14, 2001

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ラグランジュ的粒子軌道を用いた流体力学のハミルトニアン形式を構築し、正準変数を導出し、クリーブシュ変数の起源を明確にするとともに、循環保存（トムプソンの定理）を体積保存型微分同相変換の不変性と結びつける。この形式は新たな保存則を確立し、理想プラズマへの自然な拡張が可能であり、量子流体の量子化の基盤を提供する。

ABSTRACT

We suggest the Hamiltonian approach for fluid mechanics based on the dynamics, formulated in terms of Lagrangian variables. The construction of the canonical variables of the fluid sheds a light of the origin of Clebsh variables, introduced in the previous century. The developed formalism permits to relate the circulation conservation (Tompson theorem) with the invariance of the theory with respect to special diffiomorphisms and establish also the new conservation laws. We discuss also the difference of the Eulerian and Lagrangian description, pointing out the incompleteness of the first. The constructed formalism is also applicable for ideal plasma. We conclude with several remarks on the quantization of the fluid.

研究の動機と目的

• ラグランジュ的粒子軌道に基づく流体力学のハミルトニアン記述を構築し、オイラー場変数に依存しない形で行う。
• 流体力学で従来は経験的に導入されてきたクリーブシュ変数の数学的起源を明確にする。
• 循環保存（トムプソンの定理）と体積保存型微分同相変換の不変性との関連を確立する。
• 電磁ポテンシャルを用いたベクトルポテンシャルの導入により、電磁相互作用を含む理想プラズマへの形式の適用を示す。
• 正準変数とポアソン括弧を構築することで、流体系の量子化の基盤を築く。

提案手法

• 粒子軌道 $\vec{x}(\xi_i, t)$ を基本的な配置変数とし、$\xi_i$ を初期位置を示すラベルとする。
• ラグランジアン $L = \int d^3\xi \frac{m}{2} \dot{\vec{x}}^2(\xi_i, t)$ を導出し、外力のない場合の運動方程式 $m\ddot{\vec{x}} = 0$ を得る。
• 関数的微分を用いて、流体およびプラズマ成分の正準共共役運動量 $\vec{\pi}(\vec{x}, t)$ と $\vec{\Pi}(\vec{x}, t)$ を定義する。
• ルジャンドル変換を用いて正準変数で表されたハミルトニアンを構成し、位相空間上でのポアソン括弧を定義する。
• 体積保存型微分同相変換に対してネーターの定理を適用し、保存される循環 $V_\Lambda = \oint_\Lambda dx_j \frac{l_j(x)}{\rho(x)}$ を導出する。
• 電磁ポテンシャル $\vec{A}(x)$ を組み込むことで、形式をプラズマに拡張し、運動量変数に $-e\vec{A}$ および $+e\vec{A}$ 項を追加する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラグランジュ的粒子軌道を用いた流体力学のハミルトニアン形式を一貫して構築する方法は何か？
• RQ2 流体力学におけるクリーブシュ変数の正準的起源は何か？ また、位相空間構造からどのようにして現れるか？
• RQ3 循環保存（トムプソンの定理）は、体積保存型微分同相変換の対称性とどのように関連しているか？
• RQ4 電磁的効果を含む理想プラズマへのハミルトニアン形式の拡張は可能か？
• RQ5 特にフォック表現以外の量子流体理論を構築するにあたり、量子化に与える影響は何か？

主な発見

• 正準変数 $\vec{\pi}(x)$ と $\vec{\Pi}(x)$ は、関数的微分を用いたラグランジアンからの導出により得られ、完全なハミルトニアン形式の構築が可能になる。
• クリーブシュ変数は位相空間における共役運動量の成分として自然に現れ、歴史的な曖昧さが解消される。
• 循環保存は、粒子軌道の体積保存型微分同相変換の不変性に対応するネーターのノン・カレントとして示される。
• 形式は $V^{el}_\Lambda = \oint_\Lambda dx_j \frac{l_j(x)}{\rho_{el}(x)}$（電子）および $V^{ion}_\Lambda$（イオン）といった新たな保存量を導く。
• プラズマにおいては、電磁場が存在しても $V_\Lambda = V^{el}_\Lambda + V^{ion}_\Lambda = \oint_\Lambda dx_j (m v_{el} + M v_{ion})_j$ が保存される。
• プラズマの位相空間は正準変数 $\vec{A}_\perp(x), \vec{P}^{em}_\perp(x); \vec{\xi}(x), \vec{\pi}(x); \vec{\Xi}(x), \vec{\Pi}(x)$ で構成され、明確なポアソン括弧と、電磁結合を含むハミルトニアンを持つ。