[論文レビュー] On the Hamming Distance between base-n representations of whole numbers

Anunay Kulshrestha|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2012

Analytic Number Theory Research参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、基数n表現における1からmまでの連続する整数間のハミング距離の合計について、閉形式の公式を導出する。mとm−1間のハミング距離が、mを割り切るnの最高次のべきの指数lに対してl+1に等しいことを証明し、これによりS(m) = Σ⌈m/n^j⌉が得られ、すべての連続するペア間の総ハミング距離を効率的に計算可能となる。

ABSTRACT

We first introduce the Hamming distance between two strings. Then, we apply this concept to the representations of whole numbers in base n for all positive integers n > 2. We claim that a simple formula exists for the sum of all Hamming distances between pairs of consec- utive integers from 1 to m, which we will derive. We also state and prove other interesting results concerning the aforementioned topic.

研究の動機と目的

• 基数n表現における連続する整数間のハミング距離の合計を求める数学的公式を確立すること。
• 特に、mとm−1のハミング距離が、mを割り切るnの最高次のべきの指数にどのように関係するかを分析すること。
• 与えられたmまでの全ハミング距離合計を計算するための効率的なアルゴリズム的実装を提供すること。
• 基数n ≥ 2および整数全体にわたるハミング距離の挙動を一般化すること。
• 実用的な用途を想定し、動作するPython実装を用いて導出された公式を検証すること。

提案手法

• ハミング距離H(S1, S2)を、同じ長さの2つの文字列S1とS2の異なる桁の位置の数として定義する。
• 連続する整数の可変長の基数n表現を揃えるために、先頭ゼロ埋めを行う。
• 場合分けによる証明により、H(m, m−1) = l + 1（lはmを割り切るnの最高次のべきの指数）を示す。
• 全合計S(m)を、i = 1からmまでの(P_i + 1)の和として表現する。ここでP_iは、iを割り切るnの最高次のべきである。
• アイビソンブラケットを用いて表現し、和の順序を入れ替えることで、S(m) = Σ⌈m/n^j⌉（j ≥ 0）の形に再定式化する。
• nのべきをlog_n(m)まで反復することで、文字列比較を直接行わない効率的なPython実装を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 基数n表現における連続する整数mとm−1の間のハミング距離は何か？また、mの素因数分解におけるべきの構造にどのように依存するか？
• RQ2 1からmまでのすべての連続する整数ペア間のハミング距離の累積和に対して、閉形式の式を導出できるか？
• RQ3 nがmを割り切るかどうかによってハミング距離はどのように変化するか？また、mを割り切るnの最高次のべきは、その役割を果たすか？
• RQ4 すべての連続する数のペアを明示的に比較せずに、全ハミング距離合計を効率的に計算するアルゴリズムは存在するか？
• RQ5 導出された公式を用いた合計計算の計算量は、単純な文字列比較と比べてどの程度効率的か？

主な発見

• 基数nにおけるmとm−1の間のハミング距離は、H(m, m−1) = l + 1（lはmを割り切るnの最高次のべきの指数）に等しい。
• 基数nにおける1からmまでのハミング距離の合計は、S(m) = Σ⌈m/n^j⌉（j = 0から⌈log_n m⌉まで）で与えられる。
• S(m) = Σ⌈m/n^j⌉の式は、可除性条件に基づく二重和として表現し、和の順序を入れ替えることで導出された。
• 可除性を表現するためにアイビソンブラケットを用い、nのべきの和への正確な変換を可能にした。
• この公式により、全ハミング距離合計をO(log_n m)時間で計算可能となり、O(m)の単純比較に比べて著しく高速化される。
• Python実装により公式の正しさが確認され、大きなmおよびnに対してもその効率性が実証された。