[論文レビュー] On the hardness of computing an average curve

Kevin Buchin, Anne Driemel+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2019

Data Management and Algorithms参考文献 20被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、離散的および連続的フリーチェ距離と動的時系列変形（DTW）の下で1メディアン（平均曲線）を計算する問題のNP困難性およびW[1]-困難性を確立し、曲線の重心ベースクラスタリングにおける根本的な計算困難性を証明する。さらに、離散的フリーチェ距離の下で$(k,\ell)$-メディアンおよび$(k,\ell)$-センター問題に対する多項式時間$(1+\varepsilon)$-近似アルゴリズムを提示し、$k,\ell$が固定されている場合の$(k,\ell)$-センター問題に対しては正確なアルゴリズムも提供する。

ABSTRACT

We study the complexity of clustering curves under $k$-median and $k$-center objectives in the metric space of the Fréchet distance and related distance measures. Building upon recent hardness results for the minimum-enclosing-ball problem under the Fréchet distance, we show that also the $1$-median problem is NP-hard. Furthermore, we show that the $1$-median problem is W[1]-hard with the number of curves as parameter. We show this under the discrete and continuous Fréchet and Dynamic Time Warping (DTW) distance. This yields an independent proof of an earlier result by Bulteau et al. from 2018 for a variant of DTW that uses squared distances, where the new proof is both simpler and more general. On the positive side, we give approximation algorithms for problem variants where the center curve may have complexity at most $\ell$ under the discrete Fréchet distance. In particular, for fixed $k,\ell$ and $\varepsilon$, we give $(1+\varepsilon)$-approximation algorithms for the $(k,\ell)$-median and $(k,\ell)$-center objectives and a polynomial-time exact algorithm for the $(k,\ell)$-center objective.

研究の動機と目的

• 多角形曲線の離散的および連続的フリーチェ距離、およびDTWの下で1メディアン（平均曲線）を計算する問題の計算複雑性を確立すること。
• 入力曲線の数をパラメータとした場合に1メディアン問題が固定パrameter可 tractable（FPT）であるかどうかを調査すること。
• 特に$(k,\ell)$-メディアンおよび$(k,\ell)$-センターの目的関数に対して、中心の複雑さ$\ell$が有界な場合の効率的な近似アルゴリズムを開発すること。
• メトリック性の欠如を考慮して、DTWおよび連続的フリーチェ距離の下での1メディアン問題に対する定数因子近似の可能性を検討すること。

提案手法

• フリーチェ距離における最小包摂球問題を1メディアン問題に還元することで、NP困難性を証明する。
• パラメータ化複雑性の技術を用いて、離散的および連続的フリーチェおよびDTW距離の下で、入力曲線数$m$をパラメータとした1メディアン問題がW[1]-困難であることを示す。
• 候補となる中心曲線の有界な集合を探索することで、離散的フリーチェ距離の下で$(k,\ell)$-メディアンおよび$(k,\ell)$-センター問題に対する$(1+\varepsilon)$-近似アルゴリズムを提案する。
• 各中心曲線が入力曲線の頂点の近傍にある有界領域内にあり、$k$個の中心曲線のすべての可能な組み合わせを検証する決定アルゴリズムを採用する。
• $(k,\ell)$-センター問題の最適な$r$を求めるために、$O((mn)^3)$個の臨界半径値に対して二分探索を適用し、円の交差領域の位相的変化を活用する。
• 曲線の頂点の周囲の円の境界によって形成される平面グラフの幾何的構成を用いて、最大の交差領域および候補となる中心を列挙する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散的フリーチェ距離の下で、多角形曲線の1メディアン問題はNP困難か？
• RQ2 離散的および連続的フリーチェおよびDTW距離の下で、入力曲線数$m$をパラメータとした1メディアン問題はW[1]-困難か？
• RQ3 固定された$k$、$\ell$、$\varepsilon$に対して、離散的フリーチェ距離の下で$(k,\ell)$-メディアンおよび$(k,\ell)$-センター問題に対する$(1+\varepsilon)$-近似アルゴリズムを設計できるか？
• RQ4 メトリック性の欠如を考慮して、DTWおよび連続的フリーチェ距離の下での1メディアン問題の近似閾値は何か？
• RQ5 離散的フリーチェ距離の下で$(k,\ell)$-センター問題に対する正確なアルゴリズムを、DTWまたは連続的フリーチェ設定に拡張できるか？

主な発見

• 離散的および連続的フリーチェ距離、およびさまざまなノルムを用いたDTWの下で、1メディアン問題はNP困難である。
• 離散的および連続的フリーチェおよびDTW距離の下で、入力曲線数$m$をパラメータとした1メディアン問題はW[1]-困難である。
• 固定された$k$、$\ell$、および$\varepsilon > 0$に対して、離散的フリーチェ距離の下で$(k,\ell)$-メディアンおよび$(k,\ell)$-センター問題に対する多項式時間$(1+\varepsilon)$-近似アルゴリズムが存在する。
• 2次元において$k$および$\ell$が固定されている場合、離散的フリーチェ距離の下で$(k,\ell)$-センター問題に対する正確な多項式時間アルゴリズムが存在する。
• DTWの下での1メディアン問題の近似要因は$1 + \Omega(1/m)$より下限があるため、定数因子近似は不可能であると示唆される。
• DTWではメトリック性の欠如のため、曲線の頂点の周囲の円内での探索という幾何的アプローチが失敗する。同様に、低距離の曲線では頂点の近接性が保証されないため、連続的フリーチェ距離でも同様の手法は不適切である。