[論文レビュー] On the Hardness of Welfare Maximization in Combinatorial Auctions with Submodular Valuations

Shahar Dobzinski, J. Vondrák|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2012

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、下位モジュラー評価の組み合わせオークションにおける福利最大化のための、最初の定数要因近似不能性の閾値を確立し、通信モデルおよび計算モデルの両方において、(1 − 1/(2e) + ε)-近似を超えることはいかなるアルゴリズムでも達成できないことを証明している。著者らは、この限界が定数サイズの評価関数および需要オракルモデルでさえも成り立つことを示すために、複数ピークを持つ下位モジュラー関数を導入した。

ABSTRACT

We present a new type of monotone submodular functions: \emph{multi-peak submodular functions}. Roughly speaking, given a family of sets $\cF$, we construct a monotone submodular function $f$ with a high value $f(S)$ for every set $S \in {\cF}$ (a "peak"), and a low value on every set that does not intersect significantly any set in $\cF$. We use this construction to show that a better than $(1-\frac{1}{2e})$-approximation ($\simeq 0.816$) for welfare maximization in combinatorial auctions with submodular valuations is (1) impossible in the communication model, (2) NP-hard in the computational model where valuations are given explicitly. Establishing a constant approximation hardness for this problem in the communication model was a long-standing open question. The valuations we construct for the hardness result in the computational model depend only on a constant number of items, and hence the result holds even if the players can answer arbitrary queries about their valuation, including demand queries. We also study two other related problems that received some attention recently: max-min allocation (for which we also get hardness of $(1-\frac 1 {2e}+ε)$-approximation, in both models), and combinatorial public projects (for which we prove hardness of $(3/4+ε)$-approximation in the communication model, and hardness of $(1 -\frac 1 e+ε)$-approximation in the computational model, using constant size valuations).

研究の動機と目的

• 下位モジュラー福利最大化の通信複雑性に関する長年の未解決問題を解決すること。
• 定数サイズの下位モジュラー評価関数に対する(1−1/(2e)+ε)-近似のNP困難性を確立すること。
• この困難性結果を、最大最小割り当てや組み合わせ的公共財問題などの関連問題へ拡張すること。
• 困難性閾値が、需要オラクルを含むすべての妥当なオラクルモデルで成り立つことを示すこと。
• 不正確性の証明に用いる主要な技術的道具として、複数ピーク下位モジュラー関数の新規構築を提供すること。

提案手法

• 特定の集合族 F に対して高い値をとり、それ以外の場所では低い値をとる複数ピーク下位モジュラー関数を導入する。
• フェージの Max k-カバー近似不能性結果からの還元を用いて、組み合わせオークションの下位モジュラー評価関数を構築する。
• 均一な集合サイズと有界な交差をもつフェージの Max k-カバーインスタンスの構造に基づいて、定数サイズの下位モジュラー評価関数を構築する。
• 各プレイヤーの評価関数が特定のバndlの族上でピークに達するように、複数ピーク関数の構築を適用する。
• 任意の(1−1/(2e)+ε)-近似が、計算モデルではP=NPを意味し、通信モデルでは指数的通信量を要することを示す。
• 類似の構築と還元を用いて、困難性を最大最小割り当ておよび組み合わせ的公共財問題へ拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 通信モデルにおいて、下位モジュラー福利最大化の(1−1/(2e)+ε)-近似は可能か？
• RQ2 定数サイズの下位モジュラー評価関数に対して、(1−1/(2e)+ε)-近似は多項式時間で達成可能か？
• RQ3 困難性結果は、最大最小割り当てや組み合わせ的公共財問題などの他の問題へも拡張可能か？
• RQ4 困難性閾値は、需要オラクルを含むすべての妥当なオラクルモデルで証明可能か？
• RQ5 下位モジュラー組み合わせオークションにおける定数要因近似不能性を証明するために、どのような新しい構造的道具が必要か？

主な発見

• (1−1/(2e)+ε)-近似が下位モジュラー福利最大化に必要な通信量は指数的であり、長年の未解決問題が解決された。
• 定数サイズの下位モジュラー評価関数では、(1−1/(2e)+ε)-近似を達成することはP=NPを意味する。
• 困難性結果は、通信モデルでのシミュレーションと定数時間での実装が可能なため、需要オラクルを含むすべての妥当なオラクルモデルで成り立つ。
• 同じ構築により、両モデルにおいて最大最小割り当てに対しても(1−1/(2e)+ε)-困難性が得られる。
• 組み合わせ的公共財問題では、通信モデルで(3/4+ε)-近似が困難であり、計算モデルで(1−1/e+ε)-近似が困難である。
• 本論文は、この分野における初めての定数要因近似不能性結果を可能にする、新規の技術的道具として複数ピーク下位モジュラー関数を導入した。