[論文レビュー] On the Hardy-Littlewood-P\'olya and Taikov type inequalities for multiple operators in Hilbert spaces

В. Ф. Бабенко, Yu. V. Babenko+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2020

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 34被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ヒルベルト空間における複数の閉作用素に対して、ハーディー＝リトルウッド＝ポリア型およびタイコフ型の鋭い平均二乗および乗法的不等式を導出する統一的枠組みを提示する。スペクトル理論と作用素分解を活用することで、コンパクトなリーマン多様体上のラプラシアン＝ベルトラミ作用素のべきに対する新しい鋭い不等式が確立され、極限において古典的結果（特にRd上のタイコフおよびハリー＝リトルウッド＝ポリア不等式）が回復される。

ABSTRACT

We present unified approach to obtain sharp mean-squared and multiplicative inequalities of Hardy-Littlewood-Poly\'a and Taikov types for multiple closed operators acting on Hilbert space. We apply our results to establish new sharp inequalities for the norms of powers of the Laplace-Beltrami operators on compact Riemmanian manifolds and derive the well-known Taikov and Hardy-Littlewood-Poly\'a inequalities for functions defined on $d$-dimensional space in the limit case. Other applications include the best approximation of unbounded operators by linear bounded ones and the best approximation of one class by elements of other class. In addition, we establish sharp Solyar-type inequalities for unbounded closed operators with closed range.

研究の動機と目的

• ヒルベルト空間における複数の閉作用素に対して、ハリー＝リトルウッド＝ポリア型およびタイコフ型の鋭い不等式を導出する統一的アプローチの開発。
• コンパクトなリーマン多様体およびCROSS空間におけるラプラシアン＝ベルトラミ作用素のべきのノルムに関する新しい鋭い不等式の確立。
• 提案された作用素理論的枠組みの極限として、Rd上での古典的タイコフおよびハリー＝リトルウッド＝ポリア不等式が回復されることの確認。
• スペクトル分解を用いて、有界線形作用素による非有界汎関数の最良近似問題（ステフキン問題）を解くこと。
• 閉値域をもつ閉非有界作用素（ラプラシアン＝ベルトラミ作用素を含む）に対する鋭いソリヤル型不等式の導出。

提案手法

• ヒルベルト空間における自己共役作用素および正規作用素のスペクトル分解を用い、ノルムをフーリエ係数および作用素作用の形で表現する。
• 共通の定義域上で作用する作用素Bjに対して一般化されたノルム∥·∥B,hを導入し、平均二乗不等式の統一的取り扱いを可能にする。
• 正の重みベクトルh ∈ R^{m+1}_+における変分的技法および最適化を用いて、不等式における鋭い定数を導出する。
• 平均二乗不等式の斉次化およびスケーリングを用い、ラグランジュ乗数法を用いて乗法的不等式を確立する。
• ヒルベルト空間における最良近似理論を応用し、非有界汎関数に対するステフキン問題を解く。
• 作用素の閉値域および自己共役性を活用し、双対性および商空間技法を用いてソリヤル型不等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルベルト空間における複数の閉作用素に対して、ハリー＝リトルウッド＝ポリア型およびタイコフ型の鋭い不等式を導出する統一的枠組みを構築可能か？
• RQ2 コンパクトなリーマン多様体M上での関数のL^pノルムとそのラプラシアン＝ベルトラミ作用素のk乗のL^qノルムとの間の不等式における鋭い定数は何か？
• RQ3 提案された作用素理論的枠組みの極限として、Rd上での古典的タイコフおよびハリー＝リトルウッド＝ポリア不等式はどのように回復されるか？
• RQ4 特にラプラシアン＝ベルトラミ作用素のべきに対して、閉値域をもつ非有界閉作用素に対するソリヤル型不等式における鋭い定数は何か？
• RQ5 有界線形作用素による非有界汎関数の最良近似問題（ステフキン問題）は、この枠組み内で解けるか？

主な発見

• 本稿では、d次元のコンパクトなリーマン多様体M上での∆^k xのL^2ノルムに関する鋭い不等式が確立される：||∆^k x||_2^2 ≤ ||x||_p ||∆^{2k} x||_q は、x ∈ H^{4k}_q(M) かつ k ≥ d/2(1/2 − 1/p) の条件下で成立する。
• 不等式 ||∆^k x||_2^2 ≤ C ||x||_p ||∆^{2k} x||_q における鋭い定数Cは、適切なh ∈ R^{m+1}_+に対して C = 1/π^d ∫_{R^d_+} t^{2k} dt / ∑_{l=0}^m h_l t^{2r_l} と与えられ、特定の列の極限で等号が成立することが示される。
• m = d かつ r_0 = 0 のとき、Rd上での古典的タイコフ不等式が極限として回復され、変数変換の後、明示的な定数 C = ∫_{R^d_+} u^{2k} du / ∑_{l=0}^m u^{2r_l} が得られる。
• 閉非有界作用素（値域が閉）に対する鋭いソリヤル型不等式が導出される：||Ax||_H^2 ≤ ||x||_X ||A^*Ax||_{X^*} で、等号は極限で達成され、ラプラシアン＝ベルトラミ作用素の結果を一般化する。
• 本枠組みは、V. G. ソリヤル [34] のトーラスTに関する結果を回復・拡張し、k > d/4 かつ p > 1 のとき極値関数が存在することを示す。
• 商空間の双対性と極値汎関数の構成を用いて、非有界汎関数に対するステフキン問題が、鋭い境界を達成する形で解決される。