[論文レビュー] On the Hardy-Poincaré inequality with boundary singularities

Mouhamed Moustapha Fall|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2010

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$N\geq2$ および $\Omega\subset\mathbb{R}^N$ である滑らかで有界な領域 $\Omega$ において、境界特異的重み $|x|^{-2}$ を持つハーディー＝ポワンカレ不等式に対して、有限な臨界閾値 $\lambda^*\in\mathbb{R}$ の存在を確立し、$\lambda > \lambda^*$ のときにのみ最小化子が存在することを示している。主な結果は、未解決の問題を解決し、$\lambda^*$ が常に有限であり、$\lambda^*$ において最小化子が存在しないこと（原点における負の曲率を持つ領域に対しても同様）を示している。

ABSTRACT

Let $Ø$ be a smooth bounded domain in $\R^N$ with $N\ge 1$. In this paper we study the Hardy-Poincaré inequality with weight function singular at the boundary of $Ø$. In particular we provide sufficient and necessary conditions on the existence of minimizers.

研究の動機と目的

• 滑らかで有界な領域 $\Omega\subset\mathbb{R}^N$（$N\geq2$）において、$0\in\partial\Omega$ に境界特異性を有する場合に、臨界閾値 $\lambda^*$ が常に有限であるかどうかという未解決問題を解消すること。
• 重み $|x|^{-2}$ を持つ重み付きハーディー＝ポワンカレ商に対して、最小化子が存在するか否かの明確な条件を特定すること。
• $\lambda^*\in\mathbb{R}$ であり、$\lambda^*$ においては極値が存在しないことを確立すること。これは、原点における主曲率が負である領域に対しても同様に成り立つ。
• 距離が $\partial\Omega$ の部分多様体に依存する特異的重みを有する重み付き変分問題への一般化を図ること。

提案手法

• 境界付近のフェルミ座標を用いて幾何を線形化し、曲率補正項を含む法線座標におけるラプラシアンの表現を行う。
• 特異性を制御するため、改善された定数を有する局所的ハーディー不等式（1.3）を適用し、$\lambda^*\in\mathbb{R}$ を証明する。
• $-\Delta u - \frac{N^2}{4}|x|^{-2}u = \lambda u$ の上位解に対する最大原理を用いて、$\lambda^*$ において $H^1_0(\Omega)\cap C(\Omega)$ 内に非自明な非負上位解が存在しないことを示す。
• べき乗的減衰を示す明示的なバリア関数 $w_a$ を構成し、任意の非自明な上位解が $u/|x|$ の $L^2$ 積分可能性を破るため、矛盾に導く。
• 変分法とコンパクト性の議論を用いて、$\lambda > \lambda^*$ のとき最小化子が存在することを証明する。この際、厳密な不等式 $J_\lambda < \frac{N^2}{4}$ に依存する。
• $\Sigma_k\subset\partial\Omega$ を $k$ 次元部分多様体として、距離 $\textrm{dist}(x,\Sigma_k)^{-2}$ を重みとする商に一般化し、幾何的積分 $I_k$ を用いて臨界閾値を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかで有界な領域 $\Omega\subset\mathbb{R}^N$（$N\geq2$）において、$0\in\partial\Omega$ のとき、臨界閾値 $\lambda^*$ は常に有限か？
• RQ2 原点における曲率が負であっても、重み $|x|^{-2}$ を持つハーディー＝ポワンカレ商は、$\lambda^*$ において最小化子を有するか？
• RQ3 最大原理およびバリア関数技法を用いて、$\lambda^*$ において極値が存在しないことを証明できるか？
• RQ4 最小化子の存在は、原点における局所的曲率ではなく、領域 $\Omega$ のグローバル幾何にどのように依存するか？
• RQ5 結果を、codimension $k$ の部分多様体 $\Sigma_k\subset\partial\Omega$ に基づく特異的重みに一般化できるか？

主な発見

• $N\geq2$ および $0\in\partial\Omega$ を満たす任意の滑らかで有界な領域 $\Omega\subset\mathbb{R}^N$ に対して、臨界閾値 $\lambda^*(\Omega)$ は常に有限であり、$\mathbb{R}$ に属する。
• $\lambda > \lambda^*(\Omega)$ のときのみハーディー＝ポワンカレ商の最小化子が存在し、これは以前の研究で未解決であった問題を解決している。
• 方程式 $-\Delta u - \frac{N^2}{4}|x|^{-2}u = \lambda^* u$ に対して、$H^1_0(\Omega)\cap C(\Omega)$ 内に非自明な非負上位解が存在しないことから、$\lambda^*$ において極値が存在しないことが示される。
• 商 $\mu_\lambda(\Omega)$ の上界はちょうど $\frac{N^2}{4}$ であり、これは $\lambda\to\lambda^{*+}$ の極限で達成され、この値は半空間 $\mathbb{R}^N_+$ のハーディー定数に等しい。
• 原点における主曲率が負である領域に対しても、ハーディー定数は $\frac{N^2}{4}$ のまま維持される。これは、最小化子の存在が局所的曲率ではなくグローバル幾何に依存することを示している。
• $k$ 次元部分多様体 $\Sigma_k\subset\partial\Omega$ に対して、距離 $\textrm{dist}(x,\Sigma_k)^{-2}$ を重みとする商の臨界閾値は有限であり、極値が存在するのは $\lambda > \lambda^*$ のときである。$\lambda^*$ が有限であるための必要十分条件は $I_k < \infty$ である。