[論文レビュー] On the Hausdorff dimension of some sets of numbers defined through the digits of their $Q$-Cantor series expansions

Dylan Airey, Bill Mance|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$Q$-カントール級数展開におけるさまざまな正規性性質によって定義される差集合のハウスドルフ次元を計算し、基本列$Q$が極限で無限であり、完全に発散する場合、すべての非自明なこのような集合がハウスドルフ次元1（全次元）をもつことを示している。$ \mathscr{N}(Q)\setminus\mathscr{DN}(Q)$を除き、より強い条件下で同様の結果が成り立つ。これらの結果は、次元論的技法を用いて、古典的正規数論を一般化されたカントール級数展開へと拡張するものである。

ABSTRACT

Following in the footsteps of P. Erdős and A. Rényi we compute the Hausdorff dimension of sets of numbers whose digits with respect to their $Q$-Cantor series expansions satisfy various statistical properties. In particular, we consider difference sets associated with various notions of normality and sets of numbers with a prescribed range of digits.

研究の動機と目的

• $Q$-カントール級数の桁が特定の統計的性質を満たす実数の集合のハウスドルフ次元を特定すること。
• 基数$b$展開における古典的正規数理論の結果を、より一般の$Q$-カントール級数展開の設定へと拡張すること。
• $Q$-正規、$Q$-比正規、$Q$-分布正規集合の差集合の次元に関する未解決問題を解明すること。
• 集合$\mathscr{N}(Q)\setminus\mathscr{DN}(Q)$が全ハウスドルフ次元をもつための条件を確立すること、これは全測度ではないにもかかわらずである。

提案手法

• $Q = (q_n)$を$q_n \geq 2$を満たす基本列とする$Q$-カントール級数展開の枠組みを用いることで、基数$b$展開を一般化する。
• 桁ブロック長$k$の漸近的等分布性を用いて、$Q$-正規性の順序$k$を定義する。
• 特に、均一なモーラン集合の構成を用いてハウスドルフ次元の下界を評価する、次元論的技法を用いる。
• $Q_n^{(k)} = \sum_{j=1}^n \frac{1}{q_j q_{j+1} \cdots q_{j+k-1}}$を含む極限的議論を用いて、桁ブロックの頻度を分析する。
• スパarsな添字集合を用いて、$\mathscr{W}_Q(S)$（$Q$-展開における桁集合$S$をもつ数の集合）の明示的部分集合を構成し、次元を制御する。
• $\dim_H(C) \geq \liminf_{k\to\infty} \frac{\log(n_1 \cdots n_k)}{-\log(c_1 \cdots c_{k+1} n_{k+1})}$という公式を用いて、構成されたモーラン集合の次元を推定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 極限で無限かつ完全に発散する基本列$Q$に対して、集合$\mathscr{N}(Q) \setminus \mathscr{DN}(Q)$のハウスドルフ次元は何か？
• RQ2 極限で無限かつ完全に発散する$Q$に対して、$\mathscr{N}(Q)$、$\mathscr{RN}(Q)$、$\mathscr{DN}(Q)$から形成されるすべての非自明な差集合が、全ハウスドルフ次元をもつだろうか？
• RQ3 $\mathscr{N}(Q) \setminus \mathscr{DN}(Q)$に対する全次元結果を、すべてのこのような$Q$に拡張できるだろうか、それとも制限された部分集合にしか拡張できないだろうか？
• RQ4 $Q$が極限で無限かつ完全に発散する場合、$\bigcap_{j=\ell}^\infty \mathscr{N}_j(Q) \setminus \bigcup_{j=1}^{\ell-1} \mathscr{N}_j(Q)$が全ハウスドルフ次元をもつための条件は何か？
• RQ5 $\mathscr{DN}(Q) \setminus \mathscr{N}(Q)$のような集合の全ハウスドルフ次元について、古典理論におけるシュマイドの条件に類似した必要十分条件は存在するか？

主な発見

• 極限で無限かつ完全に発散する任意の基本列$Q$に対して、$\mathscr{N}(Q)$、$\mathscr{RN}(Q)$、$\mathscr{DN}(Q)$から形成されるすべての非自明な差集合は、ハウスドルフ次元1をもつ。
• $Q$が追加の成長条件（$k \geq \ell$における$k$-発散および$q_n$の特定の漸近的挙動）を満たす場合、集合$\mathscr{N}(Q) \setminus \mathscr{DN}(Q)$は全ハウスドルフ次元（すなわち次元1）をもつ。
• 桁が固定された集合$S \subset \mathbb{N}_0$に属する数の集合$\mathscr{W}_Q(S)$は、$Q$が極限で無限である限り、ハウスドルフ次元$\gamma = \lim_{k\to\infty} \frac{\log \#(S \cap \{0, \dots, q_k - 2\})}{\log q_k}$をもつ。
• 次元が$\gamma$に一致する均一モーラン集合の構成により、$\dim_H(\mathscr{W}_Q(S))$の下界が証明され、上界は制御された集合への包含関係から従う。
• 本稿は、極限で無限かつ完全に発散する$Q$に対して、$\dim_H(\mathscr{DN}(Q) \setminus \mathscr{N}(Q)) = 1$および$\dim_H(\mathscr{DN}(Q) \setminus \mathscr{RN}(Q)) = 1$であることを示し、これらの差集合が全次元をもつことを確認した。
• これらの結果は、以前の知見を一般化し、全次元がさまざまな正規性概念の組み合わせに対しても安定であることを示しており、測度が全ではない集合に対しても成り立つ。