[論文レビュー] On the Hawkes Process with Different Exciting Functions

Behzad Mehrdad, Lingjiong Zhu|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2014

Point processes and geometric inequalities被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、各到着世代に対して異なる励起関数を有する一般化線形ハーケス過程を研究し、古典的ハーケスモデルを拡張する。均衡への収束、大偏差原理および中程度偏差原理を確立し、金融分野への応用を含め、マイクロ構造ノイズや部分指数的損害額を有する破産確率を扱う。

ABSTRACT

The Hawkes process is a simple point process, whose intensity function depends on the entire past history and is self-exciting and has the clustering property. The Hawkes process is in general non-Markovian. The linear Hawkes process has immigration-birth representation. Based on that, Fierro et al. recently introduced a generalized linear Hawkes model with different exciting functions. In this paper, we study the convergence to equilibrium, large deviation principle, and moderate deviation principle for this generalized model. This model also has connections to the multivariate linear Hawkes process. Some applications to finance are also discussed.

研究の動機と目的

• 各世代に対して異なる励起関数を有する一般化線形ハーケス過程における均衡への収束を分析すること。
• 古典的結果を同一でない励起カーネルに拡張する、一般化モデルにおける大偏差および中程度偏差原理を導出すること。
• 一般化ハーケス過程と多次元ハーケス過程との間の関係を確立し、モデルの柔軟性を高めること。
• 理論的枠組みを金融的文脈に応用し、特にマイクロ構造ノイズおよびハーケス到着を有するリスク過程に焦点を当てる。
• 部分指数的損害額分布を有するリスク過程における漸近的破産確率を導出すること。

提案手法

• 各世代 $n$ に対して異なる励起関数 $\gamma_n(t)$ を有する一般化ハーケス過程を構築するために、移民・出生表現を用いる。
• 大偏差および中程度偏差原理を導出するために、ラプラス変換およびモーメント母関数の技法を用いる。
• ガルトナー＝エリスの定理およびクレメールの定理を用いて、プロセス強度における大偏差結果を確立する。
• 再生理論および部分指数的分布の性質を用いて、重尾損害額における破産確率を分析する。
• 一般化モデルと結合された点過程系との関係を示すことにより、多次元ハーケス過程との関連を確立する。
• グリオーンとウィット（1989）の確率ウォークの大偏差に関する結果を応用し、破産確率の漸近的性質を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 異なる励起関数を有する一般化ハーケス過程は、どのように均衡に収束するか？
• RQ2 この一般化モデルにおける大偏差および中程度偏差原理は何か？
• RQ3 このモデルは多次元ハーケス過程とどのように関係するか？
• RQ4 ハーケス到着および部分指数的損害額を有するリスク過程における漸近的破産確率は何か？
• RQ5 このモデルは、金融市場におけるマイクロ構造ノイズにどのように応用可能か？

主な発見

• すべての世代からの総励起が有限であるという条件下で、プロセスは均衡に収束する。
• 大偏差原理は、プロセスのモーメント母関数から導かれるレート関数を用いて確立される。
• 部分指数的損害額を有する無限時間破産確率に対して、漸近的レートは $\frac{m\mathbb{E}[C_1]}{p - m\mathbb{E}[C_1]}$ に統合尾分布 $\overline{B}_0(u)$ を乗じたものに等しい。
• 有限時間破産確率に対しては、尾指数に依存した漸近的挙動を示す：べき則的尾はべき則補正を示し、ワイブル／対数正規的尾は指数的補正を示す。
• モーメント母関数のスケーリング極限を用いて中程度偏差原理を導出し、大偏差の指数的減衰を示す。
• 自己励起点過程として、高頻度金融データにおけるマイクロ構造ノイズおよびクラスタリングの分析に、厳密な枠組みを提供する。