[論文レビュー] On the Heegaard Floer homology of a surface times a circle

Stanislav Jabuka, Thomas E. Mark|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2005

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$g \geq 3$ に対して、$\Sigma_g \times S^1$ の 3次元多様体のヘーガード・フローリングホモロジーを計算し、$c_1 = 0$ のスピン$^c$ 構造に注目する。シンプレクティック幾何学と $\mathfrak{sl}_2$ の表現論を用いて、$HF^+\left(\Sigma_g \times S^1, \mathfrak{s}_0; \mathbb{Z}\right)$ が非自明な 2- torsion を含むことを示し、これは $\mathbb{Z}$-係数ヘーガード・フローリングホモロジーにおいて初めて知られた例である。また、$HF^\infty$ を $\Sigma_g$ のヤコビアントーラス上の円被覆のコホモロジーに関連付ける。

ABSTRACT

We make a detailed study of the Heegaard Floer homology of the product of a closed surface Sigma_g of genus g with S^1. We determine HF^+ for this 3-manifold completely for the spin^c structure having trivial first Chern class, which for g>2 was previously unknown. We show that in this case HF^\infty is closely related to the cohomology of the total space of a certain circle bundle over the Jacobian torus of Sigma_g, and furthermore that HF^+ of a surface times a circle with integral coefficients contains nontrivial 2-torsion whenever g>2. This is the first example known to the authors of torsion in Heegaard Floer homology with integral coefficients. Our methods also give new information on the action of H_1 of a surface times the circle on HF^+ of the same with spin^c-structures with nonzero first Chern class.

研究の動機と目的

• $g \geq 3$ および $c_1(\mathfrak{s}_0) = 0$ の場合に、$HF^+\left(\Sigma_g \times S^1, \mathfrak{s}_0\right)$ のヘーガード・フローリングホモロジーを計算すること。これは以前未知であった。
• $HF^\infty\left(\Sigma_g \times S^1, \mathfrak{s}_0; \mathbb{Z}\right)$ の構造を特定し、$\Sigma_g$ のヤコビアントーラス上の円被覆のコホモロジーに関連付けること。
• $g \geq 3$ に対して、$HF^+\left(\Sigma_g \times S^1, \mathfrak{s}_0; \mathbb{Z}\right)$ に非自明な 2- torsion が存在することを確立し、これは $\mathbb{Z}$-係数ヘーガード・フローリングホモロジーにおいて初の例である。
• $c_1(\mathfrak{s}) \neq 0$ のとき、$H_1(\Sigma_g \times S^1)$ が $HF^+\left(\Sigma_g \times S^1, \mathfrak{s}\right)$ に与える作用を分析すること。

提案手法

• $\Lambda^*H^1(\Sigma_g; \mathbb{Z})$ を $\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$-表現に分解し、ヘーガード・フローリング複体における微分の作用を分析する。
• ホッジ＝レフシェッツ作用素 $\tilde{\star}$ と $1 - e^{-\omega U}$ による収縮を用い、$\Lambda^*H^1(\Sigma_g)$ 上の $1 - e^{-\omega}$ による収縮の余核を通じて $HF^\infty$ を計算する。
• 手術正確三角形と写像 $F^+$ を用い、$HF^+$ を $\widehat{HF}$ に関連付ける。$\mathbb{Z}[U]$-加群の部分複体への射影 $\pi_C$ を用いる。
• 複雑な表現論を避けるために $\mathbb{Z}_2$ 係数を用い、$HF^+\left(\Sigma_g \times S^1, \mathfrak{s}_0; \mathbb{Z}_2\right) \cong \widehat{HF} \otimes \mathcal{T}_0 \otimes \mathbb{Z}_2$ を示す。
• 隣接不等式を用いて、$c_1$ が $[pt \times S^1]$ の倍数でないスピン$^c$ 構造では非自明な $HF^+$ が存在しないことを排除し、問題を有限個のケースに還元する。
• $\Lambda^*H^1(\Sigma_g)$ 上の $1 - e^{-\omega}$ による収縮の余核を計算し、これは $HF^\infty$ を支配する。$g \leq 7$ の場合、これは $H^*(E_g; \mathbb{Z}) \otimes \mathbb{Z}[U, U^{-1}]$ に同型であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $g \geq 3$ および $c_1(\mathfrak{s}_0) = 0$ のとき、$HF^+\left(\Sigma_g \times S^1, \mathfrak{s}_0; \mathbb{Z}\right)$ の構造は何か？
• RQ2 $HF^+\left(\Sigma_g \times S^1, \mathfrak{s}_0; \mathbb{Z}\right)$ に非自明な 2- torsion が含まれるか？ もし含まれるならば、その意義は何か？
• RQ3 $HF^\infty\left(\Sigma_g \times S^1, \mathfrak{s}_0; \mathbb{Z}\right)$ は、$\Sigma_g$ のヤコビアントーラス上の円被覆のコホモロジーとどのように関連するか？
• RQ4 $c_1(\mathfrak{s}) \neq 0$ のとき、$H_1(\Sigma_g \times S^1)$ は $HF^+\left(\Sigma_g \times S^1, \mathfrak{s}\right)$ にどのように作用するか？
• RQ5 $g > 2$ のとき、なぜ $HF^\infty\left(\Sigma_g \times S^1, \mathfrak{s}_0; \mathbb{Z}_2\right)$ のランクは $HF^\infty\left(\Sigma_g \times S^1, \mathfrak{s}_0; \mathbb{C}\right)$ よりも大きいのか？

主な発見

• $g \geq 3$ のとき、$HF^+\left(\Sigma_g \times S^1, \mathfrak{s}_0; \mathbb{Z}\right)$ は非自明な 2- torsion を含み、これは $\mathbb{Z}$-係数ヘーガード・フローリングホモロジーにおいて初めて知られた例である。
• $HF^\infty\left(\Sigma_g \times S^1, \mathfrak{s}_0; \mathbb{Z}_2\right)$ の任意の固定次数におけるランクは $2^{2g-1} + 2^{g-1}$ であり、これは $g > 2$ のすべての $g$ に対して、$HF^\infty\left(\Sigma_g \times S^1, \mathfrak{s}_0; \mathbb{C}\right)$ のランク $\binom{2g+1}{g}$ よりも大きい。
• $g \leq 7$ のとき、$HF^\infty\left(\Sigma_g \times S^1, \mathfrak{s}_0; \mathbb{Z}\right) \cong H^*(E_g; \mathbb{Z}) \otimes \mathbb{Z}[U, U^{-1}]$ が、適切な次数シフトの後で成り立つ。ここで $E_g$ は $\Sigma_g$ のヤコビアントーラス上の $S^1$-被覆である。
• $\Lambda^*H^1(\Sigma_g)$ 上の $1 - e^{-\omega}$ による収縮の余核は $HF^\infty$ を支配し、$g \leq 7$ のとき、これは $H^*(E_g; \mathbb{Z})$ に同型である。
• 手術正確三角形における $\mathbb{Z}_2$ での写像 $F^+$ は行列 $\begin{bmatrix} 1 & \tilde{\star} \\ \tilde{\star} & 1 \end{bmatrix}$ で表され、その核と余核はともに $\Lambda^p H^1(\Sigma_g)$ に同型であり、次元は $\binom{2g}{p}$ に等しい。
• 減少フローリングホモロジー $HF^+\left(\Sigma_g \times S^1, \mathfrak{s}_0; \mathbb{Z}_2\right)$ は自明であり、$HF^+\left(\Sigma_g \times S^1, \mathfrak{s}_0; \mathbb{Z}_2\right) \cong \widehat{HF} \otimes \mathcal{T}_0 \otimes \mathbb{Z}_2$ が成り立つ。