[論文レビュー] On the hierarchical risk-averse control problems for diffusion processes

Getachew K. Befekadu, Alexander Veremyev+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2016

Risk and Portfolio Optimization参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、リーダーのリスク回避的満足度がフォロワーのそれよりも優先される階層的リスク回避的制御問題を、スタックルバーグ型フレームワークを用いて定式化する。時間一貫性のある $g$-期待値によって駆動される動的プログラミング方程式のバリアントとして、リスク回避的最適解の存在をバニッシュ解を用いて確立する。

ABSTRACT

In this paper, we consider a risk-averse control problem for diffusion processes, in which there is a partition of the admissible control strategy into two decision-making groups (namely, the {\it leader} and {\it follower}) with different cost functionals and risk-averse satisfactions. Our approach, based on a hierarchical optimization framework, requires that a certain level of risk-averse satisfaction be achieved for the {\it leader} as a priority over that of the {\it follower's} risk-averseness. In particular, we formulate such a risk-averse control problem involving a family of time-consistent dynamic convex risk measures induced by conditional $g$-expectations (i.e., filtration-consistent nonlinear expectations associated with the generators of certain backward stochastic differential equations). Moreover, under suitable conditions, we establish the existence of optimal risk-averse solutions, in the sense of viscosity solutions, for the corresponding risk-averse dynamic programming equations. Finally, we briefly comment on the implication of our results.

研究の動機と目的

• リーダーのリスク回避的満足度がフォロワーのそれよりも優先される階層的リスク回避的制御問題をモデル化すること。
• 時間一貫性のある動的凸リスク測度を、条件付き $g$-期待値によって誘導する方法を形式化すること。
• 対応するリスク回避的動的プログラミング方程式のバニッシュ解を用いて、最適リスク回避戦略の存在を確立すること。
• 情報伝達が制限された状況下でのリーダーとフォロワーの相互作用を分析すること。ここでフォロワーはリーダー戦略に対する最良反応をとる。
• 相対エントロピー制約と敵対的制御過程を用いたミニマックス定式化を通じて、モデルの不確実性の影響を検討すること。

提案手法

• リーダーとフォロワーの制御 $v_t \in V$ および $w_t \in W$ を持つ制御された拡散過程を定式化し、非予測可能性および可積分性条件を満たす。
• リーダー用（$\xi_{0,T}^1$）とフォロワー用（$\xi_{0,T}^2$）の2つの異なるコスト関数を定義し、走行コストと終端コストの両方を含む。
• 後向きストキャスティック微分方程式（BSDE）の生成子から導かれる条件付き $g$-期待値を用いて、時間一貫性のある動的凸リスク測度を採用する。
• 両エージェントのリスク回避的ハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン（HJB）方程式を導出する。ここで、リスク測度に関連する生成子関数 $g_1$ および $g_2$ を含む。
• 係数の適切な正則性および成長条件の下で、バニッシュ解理論を用いて最適解の存在を確立する。
• フォロワーの戦略がリーダー戦略に条件付けられる最良反応対応を通じて、最適制御のフィードバック構造を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーダーのリスク回避的満足度がフォロワーのそれよりも優先される拡散過程における階層的リスク回避的制御問題は、どのように定式化できるか？
• RQ2 時間一貫性のある $g$-期待値は、このような階層的制御問題における動的リスク測度をモデル化する上で果たす役割は何か？
• RQ3 リーダー・フォロワー系において、バニッシュ解の意味で最適リスク回避解が存在するための条件は何か？
• RQ4 リーダーとフォロワー間の制限された情報フローは、最適制御戦略の構造にどのように影響するか？
• RQ5 相対エントロピー制約と敵対的制御過程を用いて、拡散過程におけるモデルの不確実性をリスク回避的制御枠組みに組み込むことは可能か？

主な発見

• 階層的リスク回避的制御問題において、最適リスク回避戦略ペア $(v_{\cdot}^*, w_{\cdot}^*)$ がバニッシュ解の意味で存在する。
• リーダーの最適制御は、フォロワーの最良反応戦略を組み込んだハミルトニアン・ジャコビ・ベルマン方程式を最小化することで決定される。
• フォロワーの最適戦略は、リーダーのHJB方程式内の部分問題の最小化子として特徴づけられ、最良反応対応を反映している。
• ドリフトおよび拡散係数の均等リプシッツ条件、導関数の有界性、拡散行列の均等強楕円性の下で解の存在が保証される。
• リスク回避的動的プログラミング方程式がバニッシュ解の意味で適切に定義されており、値関数の安定性および収束性が保証される。
• 相対エントロピー制約と敵対的制御を用いたミニマックス定式化により、モデルの不確実性を枠組みに組み込むことができる。ここで摂動過程 $h_t$ はギルサノフの定理によって測度変更を引き起こす。