[論文レビュー] On the higher derivatives of Z(t) associated with the Riemann Zeta-Function

Kaneaki Matsuoka|arXiv (Cornell University)|May 10, 2012

Analytic Number Theory Research参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、リーマン予想のもとで、任意の正の整数 $ n $ に対して、十分大きな $ t $ に対して、$ Z^{(n)}(t) $ の連続する零点の間隔ごとに $ Z^{(n+1)}(t) $ がちょうど一つの零点を持つことを証明している。証明は、メロモーレック関数 $ g_n(s) $ の構築に依拠し、その零点をコーシーの積分定理と補角原理を用いて解析し、リーマン・シーゲル $ Z(t) $ 関数およびその導関数の性質を活用している。

ABSTRACT

Let $Z(t)$ be the classical Hardy function in the theory of the Riemann zeta-function. The main result in this paper is that if the Riemann hypothesis is true then for any positive integer $n$ there exists a $t_{n}>0$ such that for $t>t_{n}$ the function $Z^{(n+1)}(t)$ has exactly one zero between consecutive zeros of $Z^{(n)}(t)$.

研究の動機と目的

• リーマン・シーゲル関数 $ Z(t) $ の高階導関数の連続する零点の間隔に、正確な交互配置の性質が成立することを確立すること。
• $ Z'(t) $ および $ Z''(t) $ に関する既存の結果を、任意の高階導関数 $ Z^{(n)}(t) $ に拡張すること。
• アンダーソンの $ \eta(s) $ に類似した性質を有する新しい関数 $ g_n(s) $ を開発し、$ Z(t) $ の導関数構造の解析を可能にすること。
• リーマン予想を仮定した場合、十分大きな $ t $ に対して $ Z^{(n+1)}(t) $ が $ Z^{(n)}(t) $ の連続する零点の間隔ごとに正確に一つの零点を持つことを証明すること。

提案手法

• $ f_0(s) = \zeta(s) $ を初期値として、再帰的に $ f_{n+1}(s) = f_n'(s) - \frac{1}{2}\omega(s)f_n(s) $ で $ f_n(s) $ を定義する。
• 同じ再帰関係を用いて $ h_n(s) $ を定義し、$ g_n(s) = f_n(s)/h_n(s) $ を導入する。この関数は、$ Z^{(n)}(t) = i^n f_n(1/2+it)e^{i\theta(t)} $ を通じて $ Z(t) $ の $ n $ 階導関数と関係する。
• 関数等式 $ \chi(s)f_n(1-s) = (-1)^n f_n(s) $ を用いて、$ f_n(s) $ および $ g_n(s) $ の対称性を導出する。
• $ g_n(s) $ から導かれる関数 $ G_n(w) $ に対して、補角原理と線積分を適用し、臨界帯における零点および極の数を数える。
• 留数論と漸近展開を用いて、臨界線上での対数微分 $ \frac{G_n'}{G_n}(s) $ の推定を行い、零点および極に関する和を含む表現を得る。
• 重要な微分不等式 $ \frac{d}{dt}\left(\frac{Z^{(n+1)}(t)}{Z^{(n)}(t)}\right) < 0 $ を導出し、これが $ Z^{(n)}(t) $ と $ Z^{(n+1)}(t) $ の零点の厳密な交互配置を示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン予想を仮定した場合、$ n \geq 1 $ に対して $ Z^{(n)}(t) $ と $ Z^{(n+1)}(t) $ の連続する零点の間隔に、交互配置の性質が成立するか？
• RQ2 臨界線上の零点が $ Z^{(n)}(t) $ の零点に対応するようなメロモーレック関数 $ g_n(s) $ を構築できるか？また、その関数はどのような関数等式を満たすか？
• RQ3 臨界線上での $ g_n(s) $ の対数微分の漸近的挙動は何か？また、それは導関数比 $ Z^{(n+1)}(t)/Z^{(n)}(t) $ をどのように制御するか？
• RQ4 $ g_n(s) $ の変換版である $ G_n(w) $ の極と零点は、$ Z^{(n)}(t) $ の零点分布にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 任意の正の整数 $ n $ に対して、ある $ t_n > 0 $ が存在し、すべての $ t > t_n $ に対して、リーマン予想のもとで $ Z^{(n+1)}(t) $ は $ Z^{(n)}(t) $ の連続する零点の間隔ごとに正確に一つの零点を持つ。
• $ g_n(s) = f_n(s)/h_n(s) $ は、関数等式 $ \chi(s)f_n(1-s) = (-1)^n f_n(s) $ を満たし、その臨界線上の零点は $ Z^{(n)}(t) $ の零点に対応する。
• 対数微分 $ \frac{G_n'}{G_n}(1/2+it) $ は、$ i\frac{d}{dt}\frac{G_n'}{G_n}(1/2+it) = O(|t|^{-1}) - \sum_{\gamma} \frac{1}{(t - \gamma)^2} $ を満たすことが示され、ここで $ \gamma $ は $ G_n(w) $ の臨界線上の零点である。
• 導関数比 $ \frac{Z^{(n+1)}(t)}{Z^{(n)}(t)} $ は、十分大きな $ t $ に対して負の微分を持つことが示され、$ Z^{(n)}(t) $ と $ Z^{(n+1)}(t) $ の零点が厳密に交互に配置されることを示唆する。
• $ h_n(s) $ 及びその導関数の漸近解析により、$ h_n(s) = \frac{(\log|t|)^n}{2^n} + O((\log|t|)^{n-1}) $ および $ \frac{h_n'}{h_n}(1/2+it) = O((|t|\log|t|)^{-1}) $ が得られ、誤差項の制御に寄与する。