[論文レビュー] On the History of Geometrization of Space-time: From Minkowski to Finsler Geometry

Hubert Goenner|ArXiv.org|Nov 27, 2008

Advanced Differential Geometry Research参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ミンコフスキーの時空統一から、フィンスラー幾何学への応用への幾何化の歴史的発展をたどる。非一様分散関係を持つフィンスラー的特殊相対性理論の拡張を提案し、ローレンツ対称性を破るパラメータ $ r $ を導入することで、非零の静止運動量を生じさせつつ、変更された変換のもとで相対論的不変性を保つ。

ABSTRACT

The article is a tribute to Hermann Minkowski leading from his geometry of numbers to an attempt at using Finsler geometry for a break of Lorentz invariance.

研究の動機と目的

• 時空の幾何化の歴史的進化を、ミンコフスキーの時空から現代のフィンスラー幾何学へとたどること。
• 幾何的構造を通じて物理法則を統一する枠組みとしてのフィンスラー幾何学の可能性を探ること。
• ローレンツ対称性をパラメータ $ r $ によって破るフィンスラー的特殊相対性理論の拡張を提案すること。
• このような理論が、特に「エーテル風」パラメータ $ rc $ に関して実験的制約を受けるかどうかを検討すること。

提案手法

• フィンスラー幾何学を時空に適応させ、パラメータ $ r $ を通じて方向に依存する計量を導入し、ミンコフスキー計量を一般化する。
• 分散関係 $ \left[\frac{\eta_{ij}p^{i}p^{j}}{(\eta_{lm}p^{l}a^{m})^{2}}\right]^{r}\eta_{st}p^{s}p^{t} = m^{2}c^{2}(1+r)^{1+r}(1-r)^{1-r} $ を導出し、$ r $ が増加するにつれて非一様性が増すことを示す。
• エネルギーと運動量の式を導出するためのラグランジュ形式を構築し、$ E = \vec{p} \cdot \vec{v} - L $ および $ \vec{p} = \partial L / \partial \vec{v} $ を用いる。
• エネルギーと運動量の非相対論的極限を導出し、$ r $ に比例する非零の静止運動量が現れることを明らかにする。
• 回転軸を $ \vec{v} \times \vec{a} $ とする、$ \vec{v} $ と $ \vec{a} $ でパrameter化された修正されたローレンツ変換群を導入し、不変性を維持する。
• 「エーテル風」に関する実験的制約を用いて $ rc < 5 \times 10^{-10} $ を導き、理論の実験的検証可能性を示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フィンスラー幾何学を用いて特殊相対性理論を一般化しつつ、相対論的不変性を保つにはどうすればよいか？
• RQ2 パラメータ $ r $ を通じて時空計量に方向依存性を導入した場合、その運動論的結果は何か？
• RQ3 速度がゼロであっても、相対論的理論において非零の静止運動量が出現しうるか？ これはローレンツ対称性の破綻を意味するか？
• RQ4 非相対論的極限におけるエネルギーと運動量の修正式は、非一様性の効果をどのように反映するか？
• RQ5 非一様性パラメータ $ r $ に関して、どのような実験的制約が存在し、それがフィンスラー的モデルの検証に利用可能か？

主な発見

• 修正された分散関係は、$ r $ が増加するにつれて標準的なミンコフスキー形式から逸脱し、非一様性が増す。
• エネルギー式 $ E = \frac{mc^{2}}{\sqrt{1-\vec{v}^{2}/c^{2}}} \left( \frac{1-\vec{a}\cdot\vec{v}/c}{\sqrt{1-\vec{v}^{2}/c^{2}}} \right)^{r} \left[1 - r + r \frac{1-\vec{v}^{2}/c^{2}}{1-\vec{a}\cdot\vec{v}/c} \right] $ は強い方向依存性を示す。
• 運動量式 $ \vec{p} = \frac{mc}{\sqrt{1-\vec{v}^{2}/c^{2}}} \left( \frac{1-\vec{v}\cdot\vec{a}/c}{\sqrt{1-\vec{v}^{2}/c^{2}}} \right)^{r} \left[ (1-r)\vec{v}/c + r\vec{a} \frac{1-\vec{v}^{2}/c^{2}}{1-\vec{v}\cdot\vec{a}/c} \right] $ は、速度に依存する非一様性を明らかにする。
• 非相対論的極限では、エネルギーに $ r(1-r)\frac{m(\vec{v}\cdot\vec{a})^{2}}{2} $ の項が現れ、非一様な運動エネルギーを示す。
• 非相対論的極限における運動量には、$ \vec{v} = 0 $ であっても非零の静止運動量項 $ rmc\vec{a} $ が含まれており、ローレンツ対称性の破綻を示唆する。
• 実験的制約により $ rc < 5 \times 10^{-10} $ と制限され、このような非一様性が存在するならば、極めて小さく、横方向ドップラー効果の測定によって検出可能である可能性がある。