[論文レビュー] On the Hitchin morphism in positive characteristic

Yves Laszlo, Christian Pauly|ArXiv.org|Aug 31, 2000

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 2被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、正標数 $p > 0$ におけるアフィン直線上でのヒッチン写像の非自明な変形を、滑らかな射影的曲線上のベクトル bundle 上の $t$-接続を導入することによって構成する。$t$-接続の $p$-曲率類似物の特徴多項式が $p^\text{th}$-乗であることを示し、$\mathcal{C}(r,X) \to W \times \mathbb{A}^1$ という写像を構成する。この写像は $t=0$ でヒッチン写像に制限され、半安定な冪零 $t$-接続の部分スタック上で普遍的閉性が示される。

ABSTRACT

Let X be a smooth projective curve over a field of characteristic p>0. We show that the Hitchin morphism, which associates to a Higgs bundle its characteristic polynomial, has a non-trivial deformation over the affine line. This deformation is constructed by considering the moduli stack of t-connections on vector bundles on X and an analogue of the p-curvature, and by observing that the associated characteristic polynomial is, in a suitable sense, a p-th power.

研究の動機と目的

• 正標数 $p > 0$ におけるアフィン直線上でのヒッチン写像の非自明な変形を構成すること。
• $t$-接続の $p$-曲率類似物を定義し、その特徴多項式が $p^\text{th}$-乗であることを示すこと。
• ヒッチン写像を $\mathbb{A}^1$ 上の写像へ拡張し、$t=0$ でヒッグス場、$t=1$ で接続に.interpolate すること。
• 半安定な冪零 $t$-接続の部分スタックへのこの写像の制限が普遍的閉性を満たすことを証明すること。

提案手法

• 特徴標数 $p > 0$ の体上の滑らかな射影的曲線 $X$ 上のランク $r$ ベクトル bundle 上の $t$-接続のモジュライスタック $\mathcal{C}(r,X)$ を導入する。
• 1次主部分層の層を用いて、$t=0$ でヒッグス場、$t=1$ で接続に interpolate する $t$-接続を定義する。
• Proposition 3.2 を用いて、$t$-接続の $p$-曲率類似物の特徴多項式が $p^\text{th}$-乗であることを示す。
• $p^\text{th}$-乗性質を用いて、$W = \oplus_{i=1}^r H^0(X, \omega_X^i)$ とすると、写像 $H: \mathcal{C}(r,X) \to W \times \mathbb{A}^1$ を定義する。
• ハーダー＝ナラシムハン分類と代数化技術を用いて、$H$ の半安定な冪零 $t$-接続の部分スタックへの制限が普遍的閉性を満たすことを証明する。
• 完成と平坦性を用いた変形論的議論により、指数 $l$ の $p$-曲率をもつ $t$-接続の半安定モデルを構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒッグス bundle のヒッチン写像は、正標数におけるアフィン直線上で非自明に変形可能か？
• RQ2 正標数 $p > 0$ における $t$-接続の $p$-曲率類似物の特徴多項式の性質は何か？
• RQ3 ヒッチン写像の変形は、半安定部分に於いて普遍的閉性などの幾何的性質を保存するか？
• RQ4 特徴多項式の $p^\text{th}$-乗性質は $t$-接続の構造とどのように関係するか？
• RQ5 離散付値環上に、指数 $l$ の $p$-曲率をもつ $t$-接続の半安定モデルは存在するか？

主な発見

• Proposition 3.2 により、$t$-接続の $p$-曲率類似物の特徴多項式は $p^\text{th}$-乗であることが示された。
• この $p^\text{th}$-乗性質を用いて、$\mathcal{C}(r,X) \to W \times \mathbb{A}^1$ という写像 $H$ を構成でき、ヒッチン写像の $\mathbb{A}^1$ 上での変形が得られた。
• 写像 $H$ は $t=0$ で古典的ヒッチン写像に制限され、ヒッグス bundle のモジュライが回復される。
• $H$ の半安定な冪零 $t$-接続の部分スタックへの制限は、普遍的閉性を満たす。
• ハーダー＝ナラシムハン分類と代数化を用いて、指数 $l$ の $p$-曲率をもつ $t$-接続の半安定モデルが、離散付値環上に構成された。
• 一般化されたファイバーの勾配 $\alpha > 0$ を用いた背理法により、半安定モデルの存在が確認され、普遍的閉性の結果が証明された。