[論文レビュー] On the Hodge theory of stratified spaces

Pierre Albin|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 45被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、反復的ブロー・アップを用いて特異点を持つ多様体に帰着することで、分岐した擬多様体へのホッジ理論を拡張し、perversity（歪み度）をミゾペルヴィオシティへ一般化し、チーガー空間におけるノヴィコフ予想の解析的証明を確立する。また、局所的に対称な空間の再帰的ボアール＝セルバー型コンパクト化が、角を持つ多様体および反復的ファイブレーション構造に分解可能であることを示し、特異空間上での解析的インデックス理論を可能にする。

ABSTRACT

This article is a survey of recent work of the author, together with Markus Banagl, Eric Leichtnam, Rafe Mazzeo, and Paolo Piazza, on the Hodge theory of stratified spaces. We discuss how to resolve a Thom-Mather stratified space to a manifold with corners with an iterated fibration structure and the generalization of a perversity in the sense of Goresky-MacPherson to a mezzoperversity. We define Cheeger spaces and their signatures and describe how to carry out the analytic proof of the Novikov conjecture on these spaces. Finally we review the reductive Borel-Serre compactification of a locally symmetric space to a stratified space and describe its resolution to a manifold with corners.

研究の動機と目的

• 鋭い特異点におけるチーガーの $ L^2 $-ホッジ理論を一般の分岐した擬多様体へ一般化すること。
• 交差ホモロジーにおけるゴレスキー＝マクファーソンの歪み度を、解析的応用を想定してミゾペルヴィオシティへ拡張すること。
• $ C^* $-代数バンドルとインデックス理論を用いて、チーガー空間におけるノヴィコフ予想の解析的証明を提供すること。
• 局所的に対称な空間の再帰的ボアール＝セルバー型コンパクト化を、角を持つ多様体および反復的ファイブレーション構造へ解体すること。
• 特異空間上でのシグネチャーや高次シグネチャーを解析的手法を用いて研究するための枠組みを確立すること。

提案手法

• ボアール＝セルバー型コンパクト化の全境界ブロー・アップを用いて、トーム＝メイザー型分岐空間を角を持つ多様体に解体する。
• $ L^2 $-コホモロジーが適切に定義され、ポアンカレ双対性を満たすような、ウェッジ計量を持つ分岐空間としてチーガー空間を定義する。
• $ L^2 $-調和形式およびコホモロジーを制御するため、ゴレスキー＝マクファーソンの歪み度をミゾペルヴィオシティへ一般化する。
• $ L^2 $-de Rham複体を、de Rham作用素 $ \eth_{\text{dR}} $ の最大および最小定義域を用いて定義し、$ L^2 $-コホモロジーを定義する。
• $ C^* $-代数バンドルを用いた家族に対するアティヤ＝シンガーのインデックス定理を適用し、チーガー空間におけるノヴィコフ予想を証明する。
• パラボリック部分群の有理ラングランドス分解を用いて、解体された空間 $ \Gamma\backslash\widetilde{X} $ に反復的ファイブレーション構造を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 チーガー空間における解析的ホッジ理論は、ウィット多様体を超えて、より広いクラスの分岐した擬多様体へ拡張可能か？
• RQ2 $ L^2 $-コホモロジーを特異空間上で制御するため、歪み度の概念をミゾペルヴィオシティへどのように一般化できるか？
• RQ3 $ C^* $-代数バンドルとインデックス理論を用いて、チーガー空間におけるノヴィコフ予想を解析的に証明できるか？
• RQ4 局所的に対称な空間の解体された再帰的ボアール＝セルバー型コンパクト化は、角を持つ多様体としてどのような構造を持つか？
• RQ5 パラボリック部分群の有理ラングランドス分解から、解体された空間上に生じる反復的ファイブレーション構造はどのようにして得られるか？

主な発見

• 解体されたボアール＝セルバー型コンパクト化 $ \Gamma\backslash\widetilde{X} $ は、角を持つ多様体であり、反復的ファイブレーション構造を有する。
• 局所的に対称な空間の再帰的ボアール＝セルバー型コンパクト化 $ \widehat{M} $ は、余次元が非減少の順序で、ファイバー束写像のファイバーを圧縮することで得られる。
• $ \widehat{M} $ の解体 $ \Gamma\backslash\widetilde{X} $ は、ボアール＝セルバー型コンパクト化の全境界ブロー・アップと同型である。
• チーガー空間は、ミゾペルヴィオシティを用いた交差ホモロジーと同型である明確に定義された $ L^2 $-コホモロジーを有し、ポアンカレ双対性を満たす。
• チーガー空間におけるノヴィコフ予想の解析的証明は、$ C^* $-代数バンドルと家族に対するアティヤ＝シンガーのインデックス定理を用いて達成される。
• $ \Gamma\backslash\widetilde{X} $ 上の反復的ファイブレーション構造は、対称空間 $ \widetilde{X} $ から、$ \Psi_P $ および $ \Psi_Q $ による $ G $-不変ファイバー束写像を介して引き継がれる。