[論文レビュー] On the Holographic Principle in a Radiation Dominated Universe

Erik Verlinde|ArXiv.org|Aug 17, 2000

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 2被引用数 145

ひとこと要約

本稿は、共形場理論（CFT）のエントロピーを普遍的なCardy公式で統一し、宇宙論的FRW方程式と統合することで、放射優勢で閉じたFriedmann-Robertson-Walker宇宙における新しいホログラフィックエントロピー束を提案する。この束が飽和しているとき、FRW方程式はCFTエントロピー公式と正確に一致し、温度がハッブルパラメータとその時間微分のみで一意に決定されることが示され、ホログラフィーと宇宙論の間の深いつながりが明らかになる。

ABSTRACT

The holographic principle is studied in the context of a $n+1$ dimensional radiation dominated closed Friedman-Robertson-Walker (FRW) universe. The radiation is represented by a conformal field theory with a large central charge. Following recent ideas on holography, it is argued that the entropy density in the early universe is bounded by a multiple of the Hubble constant. The entropy of the CFT is expressed in terms of the energy and the Casimir energy via a universal Cardy formula that is valid for all dimensions. A new purely holographic bound is postulated which restricts the sub-extensive entropy associated with the Casimir energy. Unlike the Hubble bound, the new bound remains valid throughout the cosmological evolution. When the new bound is saturated the Friedman equation exactly coincides with the universal Cardy formula, and the temperature is uniquely fixed in terms of the Hubble parameter and its time-derivative.

研究の動機と目的

• 放射優勢で閉じたFRW宇宙（一般の時空次元$ n+1 $）におけるホログラフィックエントロピー束の妥当性を調査すること。
• 大スケール中央電荷を有する共形場理論（CFT）が、このような宇宙的状況下でどのように放射を記述できるかを調査すること。
• 任意次元におけるCFTエントロピーのCardy公式とFRW方程式との間の普遍的関係を確立すること。
• 宇宙の全期間にわたり有効である、完全にホログラフィックなキャスミアエネルギーの新しい束を導入し、その妥当性を裏付けること。
• この新しい束が飽和するとき、CFTエントロピー公式とFRW力学が正確に一致することを示すこと。

提案手法

• $ n+1 $次元の閉じたFRW計量（空間断面$ S^n $、スケール因子$ R(t) $）を用い、放射優勢宇宙をモデル化する。
• 放射を大中央電荷$ c $を有するCFTとして表現し、キャスミアエネルギーが全エネルギーとエントロピーに非拡張的寄与をもたらすことを想定する。
• CFTに普遍的なCardy公式$ S = 2/pi \sqrt{\frac{c}{6}(L_0 - \frac{c}{24})} $を適用し、$ L_0 = \frac{2\pi}{n} E R $および$ c $をキャスミアエネルギーにより特定する。
• ハッブル束とは異なり、$ HR < 1 $ のときでさえ有効である新しいキャスミアエネルギー$ E_C $に関する宇宙論的束を導出する。
• 識別式$ S \to \frac{(n-1)HV}{4G} $、$ E_C \to \frac{n(n-1)V}{8\pi G R^2} $、$ T \to -\frac{\dot{H}}{2\pi H} $ を用いて、Cardy公式とFRW方程式（4）および（5）を一致させる。
• 時間発展におけるエントロピー束の分析として、$ S $、$ S_H $、$ S_C $ を比較するグラフィカル表現を用い、$ HR > 1 $ のときのみ等価性が成立することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界が存在しないにもかかわらず、閉じた放射優勢FRW宇宙においてホログラフィー原理を一貫して適用できるか？
• RQ2 $ 1+1 $次元を超える高次元におけるCFTエントロピーの普遍的Cardy公式はどのように一般化されるのか。また、宇宙論的文脈における物理的解釈は何か？
• RQ3 キャスミアエネルギーは標準的エントロピー束をどのように修正するか。また、より根本的なホログラフィック束を生み出す可能性はあるか？
• RQ4 FRW方程式がCFTエントロピー公式と正確に一致するのはどのような条件下か。これにより、基礎理論に何が示唆されるか？
• RQ5 なぜ新しいキャスミアに基づく束は、特に$ HR < 1 $領域においてハッブル束よりも優れているのか？

主な発見

• 中央電荷$ c $をキャスミアエネルギーにより定義することで、標準的なモジュラー不変性による導出が$ n=1 $に限られるにもかかわらず、CFTエントロピーの普遍的Cardy公式がすべての次元$ n+1 $で成立することが示された。
• ハッブル束とは異なり、宇宙全期間にわたり有効である、完全にホログラフィックなキャスミアエネルギーの新しい束が提唱された。
• この新しい束が飽和しているとき、FRW方程式は正確にCardy公式と一致し、温度は$ T = -\frac{\dot{H}}{2\pi H} $として一意に決定される。
• 飽和状態では、エントロピー$ S $はハッブル束$ S_H = \frac{(n-1)HV}{4G} $に等しく、キャスミアエントロピー$ S_C $はブラックホールエントロピー$ S_{BH} $に等しくなる。これは深い物理的同等性を示している。
• グラフィカル分析により、ハッブル束と新しいキャスミア束は$ HR > 1 $のときのみ等価であり、新しい束は$ HR < 1 $領域でも有効であるため、より根本的であることが示された。
• CFTとFRW方程式が飽和状態で正確に一致することは、両者が同一の基礎的理論から生じており、AdSブラックホールを含むブレーン・ワールドの文脈で自然な解釈が可能であることを強く示唆している。