[論文レビュー] On the holomorph of a discrete group

Maria S. Voloshina|ArXiv.org|Feb 11, 2003

Geometric and Algebraic Topology参考文献 18被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、特に ℤ_{p^r} を対象として、整数係数ホモロジーおよび mod p コホモロジー環を計算するために明示的な群の分解を構成することにより、有限アーベル p-群のホロモーフを調査する。⊕_n ℤ_{p^r} のホロモーフを GL(n+1, ℤ_{p^r}) の部分群として特定し、その mod p コホモロジーに対する Lyndon-Hochschild-Serre 譜系が p^r ≥ 8 のとき E₂ で収束しないことを証明する。また、合同部分群のボクシュタイン準同型を計算する。主な貢献として、唯一の単なる群であるのは自明群であるという古典的結果の新しい短い証明が与えられる。

ABSTRACT

The holomorph of a discrete group $G$ is the universal semi-direct product of $G$. In chapter 1 we describe why it is an interesting object and state main results. In chapter 2 we recall the classical definition of the holomorph as well as this universal property, and give some group theoretic properties and examples of holomorphs. In particular, we give a necessary and sufficient condition for the existence of a map of split extensions for holomorphs of two groups. In chapter 3 we construct a resolution for $Hol(Z_{p^r})$ for every prime $p$, where ${\mathbb Z}_m$ denotes a cyclic group of order $m$, and use it to compute the integer homology and mod $p$ cohomology ring of $Hol(Z_{p^r})$. In chapter 4 we study the holomorph of the direct sum of several copies of $Z_{p^r}$. We identify this holomorph as a nice subgroup of $GL(n+1, Z_{p^r})$, thus its cohomology informs on the cohomology of the general linear group which has been of interest in the subject. We show that the LHS spectral sequence for $H^*(Hol(\bigoplus_n Z_{p^r}); F_p)$ does not collapse at the $E_2$ stage for $p^r\ge 8$. Also, we compute mod $p$ cohomology and the first Bockstein homomorphisms of the congruence subgroups given by $Ker (Hol(\bigoplus_n Z_{p^r}) o Hol(\bigoplus_n Z_p)).$ In chapter 5 we recall wreath products and permutative categories, and their connections with holomorphs. In chapter 6 we give a short proof of the well-known fact due to S. Eilenberg and J. C. Moore that the only injective object in the category of groups is the trivial group.

研究の動機と目的

• すべての素数 p および r ≥ 1 に対して、ℤ_{p^r} のホロモーフの整数係数ホモロジーおよび mod p コホモロジー環を計算すること。
• ⊕_n ℤ_{p^r} のホロモーフを GL(n+1, ℤ_{p^r}) の部分群として特定し、一般線形群とのコホモロジーの関係を明確にすること。
• ⊕_n ℤ_{p^r} のホロモーフのコホモロジーに対する Lyndon-Hochschild-Serre 譜系の挙動を解析し、p^r ≥ 8 のとき E₂ で収束しないことを示すこと。
• Hol(⊕_n ℤ_p) への写像の核として定義される合同部分群の mod p コホモロジーおよび最初のボクシュタイン準同型を計算すること。
• 家族 {Hol(G^n)} および {Aut(G^n)} が置換的圏をなすことを示し、無限ループ空間構造を可能にする。
• 群の圏における唯一の単なる対象が自明群であるという古典的結果の簡潔な証明を提示すること。

提案手法

• Wall の方法の一般化を用いて Hol(ℤ_{2^r}) のための分解を構成し、その整数係数ホモロジーおよび mod 2 コホモロジーを計算する。
• 奇素数 p に対して Wall の分解技法を適用し、Hol(ℤ_{p^r}) のための分解を導出し、その mod p コホモロジー環を計算する。
• 行列表現を用いて Hol(⊕_n ℤ_{p^r}) を GL(n+1, ℤ_{p^r}) の部分群として特定し、GL(n+1, ℤ_{p^r}) とのコホモロジー比較を可能にする。
• 分裂拡大の写像の存在を用いて、H*(Hol(⊕_n ℤ_{p^r}); ℱ_p) の Lyndon-Hochschild-Serre 譜系を解析し、p^r ≥ 8 のとき E₂ で収束しないことを示す。
• Hol(⊕_n ℤ_{p^r}) → Hol(⊕_n ℤ_p) の低下写像の核として定義される合同部分群のコホモロジーにおける最初のボクシュタイン準同型を計算する。
• バケツ型の円周の被覆空間を用いた位相的技法により、群準同型の単射性を証明し、単なる群の自明性の証明の根拠とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℤ_{p^r} のホロモーフの構造は何か？ その整数係数ホモロジーおよび mod p コホモロジーはどのように明示的に計算できるか？
• RQ2 ⊕_n ℤ_{p^r} のホロモーフのコホモロジーに対する Lyndon-Hochschild-Serre 譜系はどのように振る舞い、E₂ ページで収束するか？
• RQ3 Hol(⊕_n ℤ_{p^r}) → Hol(⊕_n ℤ_p) の核として定義される合同部分群の mod p コホモロジーおよび最初のボクシュタイン準同型は何か？
• RQ4 有限アーベル p-群 G に対して、家族 {Hol(G^n)} および {Aut(G^n)} は置換的圏の構造を備えられるか？
• RQ5 群の圏における唯一の単なる対象が自明群である理由は何か？ また、位相的および群論的道具を用いて、これを簡潔に証明できるか？

主な発見

• Wall の方法の一般化を用いた分解により、Hol(ℤ_{2^r}) の整数係数ホモロジーおよび mod 2 コホモロジー環が明示的に計算された。
• 奇素数 p に対しては、分解構成により Hol(ℤ_{p^r}) の mod p コホモロジー環が計算され、その構造が多項式代数と外微分代数のテンソル積として明らかになった。
• p^r ≥ 8 のとき、H*(Hol(⊕_n ℤ_{p^r}); ℱ_p) の Lyndon-Hochschild-Serre 譜系は E₂ 階で収束せず、非自明な拡張問題を示している。
• Hol(⊕_n ℤ_{p^r}) → Hol(⊕_n ℤ_p) の核として定義される合同部分群は、非自明な mod p コホモロジーおよび最初のボクシュタイン準同型を有し、これらは明示的に計算された。
• G = ℤ_{p^r} のとき、家族 {Hol(G^n)} および {Aut(G^n)} は置換的圏をなすことが示され、無限ループ空間構造が得られた。
• 群の圏における唯一の単なる群が自明群であるという古典的結果に対して、被覆空間論および F[a,b] から F[c,d] への単射群準同型を用いた新しい短い証明が与えられた。