[論文レビュー] On the holomorphicity of isometries of intrinsic metrics in complex analysis

Harish Sheshadri, Kaushal Verma|ArXiv.org|May 13, 2005

Holomorphic and Operator Theory参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Kobayashi または Carathéodory 距離に関する有界な強擬凸領域間の $C^1$-滑らかさを持つ等距写像が、境界上で CR または反 CR 微分同相写像に拡張可能であり、その結果、領域同士が正則的または反正則的同型であることを示している。証明は、Pinchuk のスケーリング技法を距離設定に適応し、境界点における等距写像の微分が水平部分束上で複素線形または共役線形であることを示す。

ABSTRACT

Let $\1$ and $\2$ be $\s$ domains in $\Cn$ and $f: \1 t \2$ an isometry for the Kobayashi or Carathéodory metrics. Suppose that $f$ extends as a $C^1$ map to $ \bar \om_1$. We then prove that $f|_{\partial \1}: \partial \1 t \partial \2$ is a CR or anti-CR diffeomorphism. It follows that $\1$ and $\2$ must be biholomorphic or anti-biholomorphic. The main tool is a metric version of the Pinchuk rescaling technique.

研究の動機と目的

• Kobayashi や Carathéodory のような内因的距離の等距写像が、必然的に正則的または反正則的であるかどうかを特定すること。
• 境界における挙動の分析を通じて、複素解析における等距写像の剛性を解明すること。
• 強擬凸領域間の $C^1$-滑らかさを持つ等距写像が境界上で CR または反 CR 微分同相写像に拡張可能であることを確立すること。
• このような等距写像が、領域同士が正則的または反正則的同型であることを示すこと。
• Kähler 距離（例：Bergman、Kähler-Einstein）における既知の結果を、Kobayashi や Carathéodory のような Finsler 距離へと拡張すること。

提案手法

• Pinchuk のスケーリング技法を距離設定に適応し、境界点付近での等距写像のスケーリング列を構成すること。
• Kobayashi 距離の両側推定を用いて、境界付近における等距写像の挙動を制御すること。
• スケーリングされた距離の極限を分析し、球の非有界モデル上の標準的距離への収束を示すこと。
• スケーリングされた等距写像の水平成分が、境界点における等距写像の微分の水平部分に収束することを証明すること。
• スケーリング極限写像が境界モデル上で正則的または反正則的であることを示し、これにより微分が水平部分空間上で複素線形性を保つ（または逆転する）ことを強制すること。
• 水平部分空間を $\mathbb{C}^{n-1}$ と同一視し、スケーリング極限の挙動を用いて、境界微分が $\mathbb{C}$-線形または共役線形であることを導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kobayashi および Carathéodory 距離に関する強擬凸領域間の等距写像は、必然的に正則的または反正則的であるか？
• RQ2 領域の閉包への $C^1$-拡張が、境界で CR または反 CR の挙動を示すか？
• RQ3 Pinchuk のスケーリング技法の距離的版を用いて、境界における等距写像の微分の複素構造を分析できるか？
• RQ4 等距写像の微分と境界モデルの正則自己同型写像との関係は何か？
• RQ5 強擬凸領域間の CR または反 CR 境界写像が、いつ正則的同型性を示すか？

主な発見

• Kobayashi 距離に関して、有界な強擬凸領域間の任意の $C^1$-等距写像は、境界上で CR または反 CR 微分同相写像に拡張可能である。
• Carathéodory 距離に関しては、境界が $C^3$ であるという追加仮定のもとで、同様の結論が成り立つ。
• 任意の境界点における等距写像の微分は、接空間の最大複素部分空間上で複素線形または共役線形である。
• Pinchuk スケーリング過程からの極限写像は境界モデル上で正則的または反正則的であり、これにより微分が複素構造を保存または反転することが強制される。
• 境界写像が CR または反 CR であることは、境界写像の正則的拡張により、領域同士が正則的または反正則的同型であることを示唆する。
• Hartogs の定理と CR 写像の一意性定理により、境界写像の正則的拡張が保証され、その結果として領域間のグローバルな正則的同型が得られる。