[論文レビュー] On the Holomorphy of Exterior-Square L-functions

Dustin David Belt|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 6被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、$L^S(s, \pi, \wedge^2 \otimes \chi)$ のメロモーフィックな正則拡張を、複素平面全体に示し、$r = \dim \pi$ が偶数の場合、唯一の可能性として $s = 1$ および $s = 0$ に単純極を持つことを示している。証明は、局所的Jacquet-Shalika積分のメロモーフィックな正則拡張を構成し、任意の $s_0$ におけるその非消滅性を示すことにより、絶対収束領域を超えてJacquetとShalikaの手法を解析接続およびWhittaker関数の技法を用いて拡張する。

ABSTRACT

In this paper, we show that the twisted partial exterior-square $L$-function has a meromorphic continuation to the whole complex plane with only two possible simple poles at $s=1$ and $s=0$. We do this by establishing the nonvanishing of the local zeta integrals defined by Jacquet and Shalika for any fixed $s_0$. The even case is treated in detail. The odd case is treated briefly, in which case, the $L$-function is shown to be entire.

研究の動機と目的

• twisted partial exterior-square $L$-関数 $L^S(s, \pi, \wedge^2 \otimes \chi)$ を複素平面全体にメロモーフィックに正則拡張すること。
• $r$ が偶数の場合、$L^S(s, \pi, \wedge^2 \otimes \chi)$ の唯一の可能性としての極が $s = 1$ および $s = 0$ に単純極として存在することを示すこと。
• JacquetとShalikaの手法を絶対収束領域を超えて拡張し、局所的積分のメロモーフィックな正則拡張を証明すること。
• 任意の $s_0 \in \mathbb{C}$ における局所的ゼータ積分の非消滅性を示し、Eisenstein級数の技法による極の検出を可能にすること。
• $r$ が奇数の場合を別個に取り扱い、$r$ が奇数のとき $L$-関数が正則であることを示すこと。

提案手法

• Jacquet-Shalikaゼータ積分によるねじれ部分外積平方 $L$-関数の積分表現を用いる。
• 全体の積分を、$\mathrm{GL}_n(F_\nu) \times \mathrm{M}_n(F_\nu)$ 上で定義された局所的積分 $J(s, \chi_\nu, W_\nu)$ の積に表現する。
• [13] の結果を用いて、任意の $s$ に対して絶対収束するように、Whittaker関数 $W_\nu$ を選ぶ。
• 局所的積分 $J(s, \chi_\nu, W_\nu)$ を $\mathbb{C}$ にメロモーフィックに正則拡張し、$h$ に関して連続的依存性を保証することで、全体の積分がメロモーフィックであることを確立する。
• 任意の $s_0$ におけるメロモーフィックに正則拡張された局所的積分の非消滅性を用いて、全体の $L$-関数が $s_0 = 1$ または $s_0 = 0$ でない限り極をもたないことを示す。
• 奇数の場合には、$\Re(s) \gg 0$ における積分の絶対収束性と局所的積分の非消滅性を用いて、$L^S(s, \pi, \wedge^2 \otimes \chi)$ が正則であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\pi$ が $\mathrm{GL}_r(\mathbb{A}_F)$ のカスプ的自動形式のとき、ねじれ部分外積平方 $L$-関数 $L^S(s, \pi, \wedge^2 \otimes \chi)$ の極の可能性のある位置は何か？
• RQ2 外積平方 $L$-関数を定義する局所的ゼータ積分は、絶対収束領域を超えて解析接続可能か？
• RQ3 積分が $s_0$ で絶対収束しない場合でも、任意の固定された $s_0 \in \mathbb{C}$ で局所的積分が非消滅するように保証可能か？
• RQ4 $r = \dim \pi$ の偶数および奇数の場合における $L$-関数の正則性の違いは何か？
• RQ5 JacquetとShalikaの手法は、絶対収束領域を超えて $L$-関数のメロモーフィックな正則拡張を証明するために拡張可能か？

主な発見

• $r$ が偶数の場合、ねじれ部分外積平方 $L$-関数 $L^S(s, \pi, \wedge^2 \otimes \chi)$ は $\mathbb{C}$ にメロモーフィックに正則拡張され、$s = 1$ および $s = 0$ のみに単純極を持つ。
• 任意の $s_0 \in \mathbb{C}$ におけるメロモーフィックに正則拡張された局所的ゼータ積分の非消滅性により、$L^S(s, \pi, \wedge^2 \otimes \chi)$ が $s_0 = 1$ または $s_0 = 0$ でない限り極をもたないことが保証される。
• 奇数の場合（$r = 2n+1$）、$L$-関数 $L^S(s, \pi, \wedge^2 \otimes \chi)$ は正則である。これは、全積分がすべての $s$ で絶対収束し、局所的積分が正則であるためである。
• 局所的積分 $J(s, \chi_\nu, W_\nu)$ は $\mathbb{C}$ にメロモーフィックに正則拡張可能であり、任意の $s_0$ に対して、$J(s_0, \chi_\nu, W_\nu) \neq 0$ となるWhittakerベクトル $W\_\nu$ が存在する。
• 全体の $L$-関数は局所的因子と、分岐な場所の有限Euler積の積として表現され、その正則性は任意の $s_0$ における局所的因子の非消滅性から導かれる。
• 結果として、$L$-関数の解析的性質は、Eisenstein級数の全体的構造とゼータ積分の非消滅性によって完全に決定され、Langlandsの関手性予想と整合的であることが確認された。