[論文レビュー] On the homogenization of the Helmholtz problem with thin perforated walls of finite length

Adrien Semin, Bérangère Delourme+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2016

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 34被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、2次元領域に薄い周期的有限長の穿孔壁を有するヘルムホルツ方程式に対して、境界層およびコーナー特異性を捉えるために、周期的表面ホモジゼーションとマッチド漸近展開を組み合わせた2次漸近展開を提示する。この手法により、有効界面における伝達条件と、無限大に発散する特異性を解消するコーナー条件が得られ、小周期δに依存しない計算コストで高精度な解が得られる。

ABSTRACT

In this work, we present a new solution representation for the Helmholtz transmission problem in a bounded domain in $\\mathbb{R}^2$ with a thin and periodic layer of finite length. The layer may consists of a periodic pertubation of the material coefficients or it is a wall modelled by boundary conditions with an periodic array of small perforations. We consider the periodicity in the layer as the small variable $\\delta$ and the thickness of the layer to be at the same order. Moreover we assume the thin layer to terminate at re-entrant corners leading to a singular behaviour in the asymptotic expansion of the solution representation. This singular behaviour becomes visible in the asymptotic expansion in powers of $\\delta$ where the powers depend on the opening angle. We construct the asymptotic expansion order by order. It consists of a macroscopic representation away from the layer, a boundary layer corrector in the vicinity of the layer, and a near field corrector in the vicinity of the end-points. The boundary layer correctors and the near field correctors are obtained by the solution of canonical problems based, respectively, on the method of periodic surface homogenization and on the method of matched asymptotic expansions. This will lead to transmission conditions for the macroscopic part of the solution on an infinitely thin interface and corner conditions to fix the unbounded singular behaviour at its end-points. Finally, theoretical justifications of the second order expansion are given and illustrated by numerical experiments. The solution representation introduced in this article can be used to compute a highly accurate approximation of the solution with a computational effort independent of the small periodicity $\\delta$.

研究の動機と目的

• 薄い周期的有限長の小孔または物性摂動を有する有界2次元領域におけるヘルムホルツ透過問題をモデル化すること。
• 2つの特異的挙動を考慮すること：周期的界面付近の境界層と、再entrantコーナーに起因する層の端点におけるコーナー特異性。
• マッチド漸近展開と周期的ホモジゼーションを用いて、巨視的挙動と局所的補正を両方捉える2次漸近展開を構築すること。
• 無限に薄い界面における有効伝達条件と、端点における無限大に発散する特異性を正則化するコーナー条件を導出すること。
• 理論的根拠に基づき、小パラメータδに依存しない計算効率の高い解の近似を提供すること。

提案手法

• 解は、巨視的部、界面に周期的で法線方向に指数的に減衰する接線方向周期性を持つ境界層補正項、およびコーナー特異性を補正する近接場補正項に分解される。
• 境界層補正項は周期的表面ホモジゼーションを用いて導出され、周期性δと界面からの距離d/δに従って減衰する標準問題を解く。
• 近接場補正項は、層の端点付近におけるマッチド漸近展開を用いて構築され、境界が振動する無限大の円錐内での解に基づく。
• 2スケールの漸近展開が用いられ、(R±)λ(R±)k ln(R±)mの形の関数が用いられる。ここでR±はコーナーからの距離、λは開口角Θによって定まる。
• コーナー特異性は、λn−q ∈ π/Θ ℤ* または λn−q = 0 の場合に、プロファイルに対する直交性条件を課すことによって解消され、一意性が保証される。
• 全解は、巨視的項、境界層補正項、近接場補正項の重ね合わせとして表現され、係数は円錐領域における標準問題の解法により決定される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 薄い周期的有限長穿孔壁を有する領域におけるヘルムホルツ方程式に対して、2次漸近展開をどのように構築できるか。
• RQ2 解の巨視的挙動を捉える有効界面における適切な伝達条件は何か。
• RQ3 薄い周期的層の端点に生じるコーナー特異性を数学的にどのように特徴づけ、解消できるか。
• RQ4 開口角Θが特異挙動および漸近展開におけるδのべき乗を決定する役割を果たすか。
• RQ5 漸近解が理論的・数値的に正当化可能であり、小パラメータδに依存しない計算コストで実現可能か。

主な発見

• 2次まで厳密に正当化された漸近展開が構築され、巨視的項、境界層補正項、近接場補正項を含む。
• 境界層補正項は、接線方向に周期δをもち、界面からの距離dに比例してe−d/δに比例して減衰する指数関数的関数である。
• 近接場補正項は、境界が振動する無限大の円錐内での解から導出され、再entrantコーナーにおける特異挙動を、開口角Θに依存するδのべき乗で捉える。
• この手法により、周期的表面ホモジゼーションから導かれる無限に薄い界面における有効伝達条件と、無限大に発散する特異性を正則化するコーナー条件が得られる。
• 解の表現により、δに依存しない計算コストでヘルムホルツ解の高精度近似が可能であり、数値実験でも確認された。
• λn−q ∈ π/Θ ℤ* または λn−q = 0 の場合に、直交性条件を課すことにより補正関数の一意性が回復され、漸近系の適切な定式化が保証される。