[論文レビュー] On the Homogenized Linial Arrangement: Intersection Lattice and Genocchi Numbers

Alexander Lazar, Michelle L. Wachs|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2018

Advanced Combinatorial Mathematics被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、同次化されたリンヤル配置の交差格子のモービウス関数の組合せ的解釈を、D-置換と呼ばれる新しい置換のクラスを用いて提示する。交差格子を分割格子 Π2n の部分順序集合に同型写像し、全単射を射出ピストルと結びつけることで、特性多項式の母関数が導かれ、モービウス不変量が非中央ジェノチ数であることが証明される。この結果は、タイプBおよびダウリング配置へのm-ラベル付き類似物へと拡張される。

ABSTRACT

Hetyei recently introduced a hyperplane arrangement (called the homogenized Linial arrangement) and used the finite field method of Athanasiadis to show that its number of regions is a median Genocchi number. These numbers count a class of permutations known as Dumont derangements. Here, we take a different approach, which makes direct use of Zaslavsky's formula relating the intersection lattice of this arrangement to the number of regions. We refine Hetyei's result by obtaining a combinatorial interpretation of the M\\"obius function of this lattice in terms of variants of the Dumont permutations. This enables us to derive a formula for the generating function of the characterisitic polynomial of the arrangement. The M\\"obius invariant of the lattice turns out to be a (nonmedian) Genocchi number. Our techniques also yield type B, and more generally Dowling arrangement, analogs of these results.

研究の動機と目的

• 同次化されたリンヤル配置の交差格子のモービウス関数の組合せ的解釈を提供すること。
• ヘティエの結果（領域数が中央ジェノチ数に等しい）を、D-置換と結びつけることで、それを精緻化すること。
• m-ラベル付き置換およびラベル付き分割格子を用いて、結果をタイプBおよびダウリング配置へと拡張すること。
• D-置換を用いて、配置の特性多項式の母関数を導出すること。
• 格子のモービウス不変量が非中央ジェノチ数であることを確立し、新たな組合せ的解釈を提供すること。

提案手法

• 同次化されたリンヤル配置の交差格子が、すべての非単位ブロックの最小値が奇数で最大値が偶数であるような分割からなる、分割格子 Π2n の誘導部分順序集合に同型であることを示す。
• 特定のサイクルおよびラベル付け条件（2n を含むサイクルにおけるサイクル最小値および右から左への最小値が 0 にラベル付けされる）を満たす [2n] 上の置換の新クラス、D-置換を定義する。
• 格子のNBC集合とm-ラベル付きD-置換の間の全単射を構成し、モービウス関数の組合せ的公式を得る。
• ロータ＝ホイトニーの公式を適用して格子のモービウス関数を計算し、D-置換に関連する符号付き第一種スターリング数を用いて特性多項式を表現する。
• タイプBおよびダウリング配置のm-ラベル付き類似物を開発し、Zm 上でサイクルおよびラベル付け制約を持つm-ラベル付きD-置換を導入する。
• オリク＝ソロモンの公式を用いて、配置の補集合におけるホッジ数との関係を特性多項式に結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 同次化されたリンヤル配置の交差格子のモービウス関数は、どのように組合せ的に解釈できるか？
• RQ2 ヘティエの中央ジェノチ数に関する結果を超えて、同次化されたリンヤル配置の領域数とジェノチ数の関係は何か？
• RQ3 ラベル付き置換を用いて、結果をタイプBおよびダウリング配置へと拡張可能か？
• RQ4 同次化されたリンヤル配置の特性多項式の母関数は、どのような組合せ的対象で表せるか？
• RQ5 格子のモービウス不変量は何か？また、非中央ジェノチ数とどのように関係するか？

主な発見

• 同次化されたリンヤル配置の交差格子のモービウス関数は、(−1)^{|π|}μ(0̂,π) = |{σ ∈ D2n^m : cyc(σ) = π}| で与えられる。ここで D2n^m はm-ラベル付きD-置換の集合である。
• 配置の特性多項式は χL(H2n−1)(t) = ∑k=1^{2n} sD,m(2n,k) t^{k−1} で与えられ、(−1)^k sD,m(2n,k) はk個のサイクルを持つm-ラベル付きD-置換の数を数える。
• 領域数は |χL(H2n−1)(−1)| = |D2n^m| であり、モービウス不変量は μ(0̂,1̂) = −|DC2n^m| である。ここで DC2n^m はm-ラベル付きD-サイクルの集合である。
• 母関数 ∑n≥1 χL(H2n−1)(t) x^n は ∑n≥1 (t−1)n,m (t−m)n−1,m x^n / ∏k=1^n (1 − mk(t−mk)x) で与えられ、(a)n,m = a(a−m)(a−2m)⋯(a−(n−1)m) である。
• モービウス不変量は非中央ジェノチ数である：μ(0̂,1̂) = −m^{2n−1} G_n(m^{-1}) である。ここで G_n(x) はガンディー多項式である。
• m-ラベル付きD-置換は射出ピストルと双対的である。これによりヘティエの結果が回復され、特性多項式およびジェノチ数の公式の完全なm-アナログが得られる。