[論文レビュー] On the homological mirror symmetry conjecture for pairs of pants and affine Fermat hypersurfaces

Nicholas Sheridan|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、CP^n における n+2 個の一般位置の超平面の補集合である n 次元ペア・オブ・パンツにおいて、埋め込まれたラグランジュ球面を構成し、その自己準同型 A∞代数を Fukaya 圏で計算する。この代数が、鏡像 Landau-Ginzburg モデル (C^{n+2}, W = z₁⋯z_{n+2}) における原点における構造層の自己準同型 dg 代数と quasi-isomorphic であることを示し、ペア・オブ・パンツおよびアフィン・フェルマー超曲面に対するホモロジカル鏡像対称性予想に証拠を提供する。

ABSTRACT

The n-dimensional pair of pants is defined to be the complement of n+2 generic hyperplanes in CP^n. We construct an immersed Lagrangian sphere in the pair of pants and compute its endomorphism A_{\infty} algebra in the Fukaya category. On the level of cohomology, it is an exterior algebra with n+2 generators. It is not formal, and we compute certain higher products in order to determine it up to quasi-isomorphism. This allows us to give some evidence for the homological mirror symmetry conjecture: the pair of pants is conjectured to be mirror to the Landau-Ginzburg model (C^{n+2},W), where W = z_1 ... z_{n+2}. We show that the endomorphism A_{\infty} algebra of our Lagrangian is quasi-isomorphic to the endomorphism dg algebra of the structure sheaf of the origin in the mirror. This implies similar results for finite covers of the pair of pants, in particular for certain affine Fermat hypersurfaces.

研究の動機と目的

• n 次元ペア・オブ・パンツの場合におけるホモロジカル鏡像対称性予想に証拠を提供すること。
• ペア・オブ・パンツに埋め込まれたラグランジュ球面を構成し、Fukaya 圏におけるその自己準同型 A∞ 代数を計算すること。
• この A∞ 代数が、鏡像 Landau-Ginzburg モデルにおける原点における構造層の自己準同型 dg 代数と quasi-isomorphic であることを示すこと。
• この結果を、ペア・オブ・パンツの有限被覆、特にアフィン・フェルマー超曲面へと拡張すること。

提案手法

• ラグランジュ部分多様体として、n 次元ペア・オブ・パンツに埋め込まれたラグランジュ球面を構成する。
• Floer 理論を用いて、Fukaya 圏におけるこのラグランジュ多様体の自己準同型 A∞ 代数を計算する。
• A∞ 代数のコホロロジーを解析し、それが n+2 個の生成子を持つ外微分代数と同型であることを示す。
• 高次 A∞ 積を計算することで、A∞ 代数が形式的でないことを示す。
• ラグランジュ多様体の自己準同型 A∞ 代数と、鏡像 Landau-Ginzburg モデルにおける原点における構造層の自己準同型 dg 代数との quasi-isomorphism を確立する。
• Fukaya 圏および導来圏における引き戻し構成を用いて、結果をペア・オブ・パンツの有限被覆、特にアフィン・フェルマー超曲面へ応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 構成されたペア・オブ・パンツ内のラグランジュ球面の自己準同型 A∞ 代数は、鏡像 Landau-Ginzburg モデルにおける原点における構造層と quasi-isomorphic か？
• RQ2 高次 A∞ 積は、A∞ 代数をそのコホロロジーから区別するためにどのように寄与するか？
• RQ3 このラグランジュ多様体の構成を用いて、ペア・オブ・パンツにおけるホモロジカル鏡像対称性予想を検証できるか？
• RQ4 この結果は、アフィン・フェルマー超曲面を含むペア・オブ・パンツの有限被覆へと拡張可能か？
• RQ5 ラグランジュ多様体の A∞ 代数の正確な構造は、生成子と関係式を用いてどのように記述できるか？

主な発見

• ペア・オブ・パンツ内の埋め込みラグランジュ球面の自己準同型 A∞ 代数のコホロロジーは、n+2 個の生成子を持つ外微分代数と同型である。
• 高次積が非自明であり、その同型類を特定するために不可欠であるため、A∞ 代数は形式的でない。
• この A∞ 代数は、鏡像 Landau-Ginzburg モデル (C^{n+2}, W = z₁⋯z_{n+2}) における原点における構造層の自己準同型 dg 代数と quasi-isomorphic である。
• この quasi-isomorphism は、ペア・オブ・パンツの場合におけるホモロジカル鏡像対称性予想に対する強い証拠を提供する。
• この結果は、鏡像対称性対応を介して、ペア・オブ・パンツの有限被覆、特にアフィン・フェルマー超曲面へと拡張可能である。
• この構成と計算により、Fukaya 圏におけるラグランジュ部分多様体と、鏡像における有理型層の導来圏との間の明確な結びつきが確立される。