[論文レビュー] On the homology of open-closed string theory

Eric Harrelson|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、開き・閉じた穴を持つリーマン面から生じる代数的構造に注目し、生成数ゼロの開-閉ストリングPROPのホモロジーを調査する。ゲツラーのBV代数結果を開-閉設定に拡張し、開-閉モジュライ空間のホモロジーが、両方の次数付きベクトル空間のペア上にスイスチーズ代数を定義することを示している。これは、ゲルステンハーバー代数およびBV代数の両方を一般化する。

ABSTRACT

In Zwiebach’s study of oriented open-closed string theory [18], he considered a certain moduli space of Riemann Surfaces with boundary having “closed” punctures in the interior and “open” punctures on the boundary coming with parameterizations by the unit disk and upper half disk. While he did not consider it as such, this moduli space forms a 2-colored PROP. The first purpose of this paper is to describe completely the homology of the biggest genus 0 structure inside this PROP. The operad inside of this PROP formed by spheres with no boundary is well known to be homotopy equivalent to the framed little disks operad. It is shown by Getzler that its homology defines a BV-algebra [7]. This extends the result by Cohen [4] showing that the homology of the non-framed little disks operad describes a Gerstenhaber algebra. In [17], Voronov invented the Swiss-cheese operad which is a (non framed) finite dimensional model of the operad inside this PROP formed by Riemann spheres with one or no boundary components. He computed its homology and calls the algebra that it defines a Swiss-cheese algebra. The algebra is defined on a pair of graded vector spaces ( , ) C O V V and consists of a Gestenhaber structure on

研究の動機と目的

• 2色付きの開-閉ストリング理論のPROPにおける生成数ゼロの最大構造のホモロジーを記述すること。
• 閉じたストリングの場合におけるゲツラーのBV代数構造に関する結果を、開-閉設定に拡張すること。
• ヴォロノフが導入したスイスチーズオペラッドを一般化した、開-閉ストリングオペラッドの完全なホモロジー的記述を提供すること。
• 開きと閉じた穴を持つリーマン面のホモロジーが定義する代数的構造を明確にすること。
• モジュライ空間とスイスチーズ代数の代数的公理との間のホモトピー論的関係を確立すること。

提案手法

• 内部に閉じた穴、境界上に開いた穴を持つ生成数ゼロのリーマン面のモジュライ空間を分析し、各穴にディスクパラメータ化を備える。
• 境界のない球面のオペラッドが、ゲツラーとコーエンの既知の結果を用いて、フレームド・リトルディスクオペラッドとホモトピー同値であることを同定する。
• ヴォロノフのスイスチーズオペラッドを、開-閉構造の有限次元モデルとして用い、そのホモロジーにより目的の代数的構造を定義する。
• 閉じた成分と開いた成分のホモトピー型を組み合わせることで、生成数ゼロの完全な開-閉PROPのホモロジーを構成する。
• オペラッドおよびPROP理論的技法を用い、ホモロジーが満たす代数的公理を導出し、特に開いた操作と閉じた操作の相互作用に注目する。
• 開-閉モジュライ空間のホモロジーが、次数付きベクトル空間のペア (V_O, V_C) 上にスイスチーズ代数構造を支持することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 生成数ゼロの開-閉ストリングPROPのホモロジーは何か？ そして、閉じたストリングの場合にどのように一般化されるか？
• RQ2 開-閉モジュライ空間のホモロジーは、スイスチーズ代数の代数的構造をどのように符号化するか？
• RQ3 フレームド・リトルディスクオペラッドと生成数ゼロにおける開-閉ストリングオペラッドとの関係は何か？
• RQ4 ホモロジーにおける開き・閉じたストリング操作は、どのように相互作用するか？
• RQ5 開-閉モジュライ空間のホモロジーは、BV代数構造のホモトピー論的拡張として記述可能か？

主な発見

• 生成数ゼロの開-閉ストリングPROPのホモロジーは、次数付きベクトル空間のペア (V_O, V_C) 上にスイスチーズ代数を定義する。
• 閉じたストリング部分のホモロジーは、ゲツラーのフレームド・リトルディスクオペラッドに関する結果に整合するBV代数構造を支持する。
• 開いたストリング部分は、コーエンの非フレームド・リトルディスクオペラッドに関する結果を一般化したゲルステンハーバー代数構造を有する。
• 開いた操作と閉じた操作の相互作用は、スイスチーズ代数の公理を満たし、特に閉じた代数が開いた代数に作用する。
• 完全な構造は、境界と穴を持つリーマン面のモジュライ空間の位相的性質から生じる。
• 本結果により、代数的オペラッドおよびそのホモトピー型の観点から、生成数ゼロの開-閉ストリング理論の完全なホモロジー的記述が得られる。