[論文レビュー] On the homology theory of fibre spaces

Tornike Kadeishvili|ArXiv.org|Apr 21, 2005

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、自由なホモロジー群をもつ微分代数のホモロジーに $A(\infty)$-代数構造を確立し、ファイバー空間の古典的ホモロジー理論のホモトピー論的精錬を可能にする。主な貢献は、このホモロジー $A(\infty)$-代数から元の代数への $A(\infty)$-準同型を構成し、ホモロジーで同型を誘導するもので、$\tilde{B}$-構成法を一般化し、ファイバー束とループ空間におけるスペクトル系列の計算を統一する。

ABSTRACT

The $A(\inft)$-algebra structure in homology of a DG-algebra is constructed. This structure is unique up to isomorphism of $A(\infty)$ algebras. Connection of this structure with Massey products is indicated. The notion of $A(\infty)$-module over an $A(\infty)$-algebra is introduced and such a structure is constructed in homology of a DG-modules over a DG-algebra. The theory of twisted tensor products is generalized from the case of DG-algebras to the case of $A(\infty)$-algebras. These algebraic results are used to describe homology of classifying spaces, cohomology of loop spaces, and homology of fibre bundles.

研究の動機と目的

• 微分代数に対する古典的 $B$-構成法を、$A(\infty)$-代数を用いたホモトピー論的枠組みに拡張すること。
• ホモロジー群が自由である微分代数のホモロジーに、高次のホモトピー構造を構成すること。
• ファイバー束設定における分類空間またはループ空間ホモロジーと、この $A(\infty)$-構造の $\tilde{B}$-構成法との間のホモトピー同値性を確立すること。
• Shihのスペクトル系列の結果を一般化し、微分を高次の $A(\infty)$ 操作とねじれコチェーンで表現すること。

提案手法

• 一般化された結合則関係（Stasheffの $A(\infty)$-関係）を満たす高次作用 $m_i$ をもつ $A(\infty)$-代数の圏 $A(\infty)$ を導入する。
• $\tilde{B}$-構成法を用いて、$A(\infty)$-代数を微分コモノイドに写像する。$(M, \{m_i\})$ を $m_i$ 操作で定義される微分 $d_m$ をもつテンソルコモノイド $T^c(M)$ に写す。
• 微分代数 $C$ のホモロジー $H(C)$ に、$X_1 = 0$ および $X_2(a_1 \otimes a_2) = -\tilde{a}_1 \cdot a_2$ を出発点として、サイクル代表元を用いて高次 $X_i$ を再帰的に定義する $A(\infty)$-代数構造 $\{X_i\}$ を構成する。
• ホモロジーで同型を誘導する $f_1$ をもつ $A(\infty)$-準同型 $\{f_i\}$ を $H(C)$ から $C$ に構成する。ホモロジーの自由性を用いて、ホモトピー差を補正する。
• $\tilde{B}$-構成法を用いて、$A(\infty)$-準同型を微分コモノイド写像に上げ、$\tilde{B}(H(C), \{X_i\})$ と $C$ の $B$-構成法との間のホモトピー同値性を確立する。
• ねじれコチェーンを用いてファイバー束に適用し、$H(F)$ の $\tilde{B}$-構成法のホモロジーが、全空間 $E$ のホモロジーと同型であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由なホモロジー群をもつ微分代数のホモロジーに、そのホモトピー論的性質を捉える高次代数的構造を導入できるか？
• RQ2 ホモロジーで同型を誘導する、ホモロジー $A(\infty)$-代数から元の代数への標準的な $A(\infty)$-準同型が存在するか？
• RQ3 この $A(\infty)$-構造の $\tilde{B}$-構成法は、古典的構成法（分類空間やループ空間ホモロジー）とどのように関係するか？
• RQ4 ファイバー束のスペクトル系列における微分を、高次の $A(\infty)$ 操作とねじれコチェーンで表現できるか？
• RQ5 ホモロジー上の $A(\infty)$-構造は、$A(\infty)$-同型に関してどれほど一意的か？

主な発見

• 任意のホモロジー群 $H_i(C)$ が自由である微分代数 $C$ に対して、$X_1 = 0$, $X_2(a_1 \otimes a_2) = -\tilde{a}_1 \cdot a_2$ を満たす、$H(C)$ 上の標準的な $A(\infty)$-代数構造 $\{X_i\}$ が存在する。さらに、$(H(C), \{X_i\})$ から $(C, \{m_1, m_2, 0, \dots\})$ への $A(\infty)$-準同型 $\{f_i\}$ が存在し、$f_1$ がホモロジーで同型を誘導する。
• $A(\infty)$-代数 $(H(C), \{X_i\}$ の $\tilde{B}$-構成法は、$C$ の $B$-構成法と準同型であり、古典的 $B$-構成法のホモトピー論的精錬を確立する。
• 連結な位相群 $G$ で $H_*(G)$ が自由であるとき、$\tilde{B}$-構成法 $\tilde{B}(\bar{H}_*(G), \{X_i\})$ のホモロジーは、分類空間 $B_G$ のホモロジーと同型である。
• 単連結空間 $B$ で $H^*(B, b_0)$ が自由であるとき、$\tilde{B}$-構成法 $\tilde{B}(\bar{H}^*(B, b_0), \{X_i\})$ のホモロジーは、ループ空間 $\Omega B$ のコホモロジーと同型である。
• $G$ が連結で $H_*(G)$, $H_*(F)$ が自由である主 $G$-ファイブレーション $\xi$ に対して、$C_*(B) \otimes_{\phi^*} H_*(F)$ の $\sim$-ねじれテンソル積のホモロジーは、全空間 $E$ のホモロジーと同型である。これはShihの結果を一般化する。
• ホモロジー上の $A(\infty)$-構造は、$A(\infty)$-同型に関して一意的である。$H(C)$ 上の任意の2つの構造は、第一成分が恒等写像である $A(\infty)$-同型で関係づけられる。