[論文レビュー] On The Horadam Hybrid Quaternions

Ali Dağdeviren, Ferhat Kürüz|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2020

Advanced Mathematical Theories and Applications参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、ハイブリッドクォータニオンの枠組み内でフィボナッチ数、ラウス数、ペル数、ヤコブスティャール数を一般化する新しい代数的構造、ホラダムハイブリッドクォータニオンを導入する。特性方程式 $x^2 - 2x - 1 = 0$ の根を用いて、フィボナッチおよびラウスのハイブリッドクォータニオンにおけるビネの公式とカッシーニの恒等式を導出し、代数的性質および再帰的関係を確立する。主な貢献は、閉形式表現と恒等式関係を通じて、古典的数列とハイブリッドクォータニオンを統一的に結びつけることにある。

ABSTRACT

In this paper, we define the Horadam hybrid quaternions and give some of their properties. Moreover, we investigate the relations between the Fibonacci hybrid quaternions and the Lucas hybrid quaternions which connected the Fibonacci quternions and Lucas quaternions. Furthermore, we give the Binet formulas and Cassini identities for these quaternions.

研究の動機と目的

• フィボナッチ、ラウス、ペル、ヤコブスティャールといった古典的数列を、ハイブリッドクォータニオン代数的構造へ一般化すること。
• フィボナッチおよびラウスのハイブリッドクォータニオンを、既存のクォータニオン系と統一的な枠組みで結びつけること。
• これらの一般化されたクォータニオンに対して、閉形式表現（ビネの公式）および再帰的恒等式（カッシーニの恒等式）を導出すること。
• ホラダムハイブリッドクォータニオンの代数的性質（共役、ノルム、乗法規則）を調査すること。
• 再帰的数列に基づくハイブリッド数の理論を、高次元のハイパーコンプレックス系へ拡張すること。

提案手法

• ホラダムハイブリッドクォータニオンを $ H_n = w_n + w_{n+1} \mathbf{i} + w_{n+2} \boldsymbol{\varepsilon} + w_{n+3} \mathbf{h} $ として定義し、$ w_n $ がホラダム再帰 $ w_n = p w_{n-1} - q w_{n-2} $ に従うものとする。
• 特性方程式 $ x^2 - px + q = 0 $ の根 $ \alpha, \beta $ を用いたビネの公式 $ w_n = A\alpha^n + B\beta^n $ を用いて、ハイブリッドクォータニオンを閉形式で表現する。
• ハイブリッド単位代数 $ \mathbf{i}^2 = -1, \boldsymbol{\varepsilon}^2 = 0, \mathbf{h}^2 = 1 $ および混合積を用いて、ハイブリッドクォータニオンの共役 $ \widehat{H}_n^c $ およびノルム $ \| \widehat{H}_n \| $ を定義する。
• 分配法則およびハイブリッド単位の乗法表を用いて、ハイブリッドクォータニオンの乗法規則を導出する。
• フィボナッチおよびラウスのハイブリッドクォータニオンのビネの公式を $ \widehat{F}_n = \frac{\alpha^n \alpha^* \underline{\alpha} - \beta^n \beta^* \underline{\beta}}{\alpha - \beta} $ として確立し、ここで $ \alpha^*, \beta^* $ はハイブリッド共役を表す。
• ビネ形式の代数的変形を用いて、フィボナッチおよびラウスのハイブリッドクォータニオンにおけるカッシーニの恒等式を証明し、$ C_1 = (-1)^n \frac{\alpha\alpha^*\beta^*\underline{\alpha}\underline{\beta} - \beta\beta^*\alpha^*\underline{\beta}\underline{\alpha}}{\alpha - \beta} $ および $ C_2 = (-1)^n \sqrt{5} (\cdots) $ の形を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホラダム数列は、ハイブリッドクォータニオン代数にどのように埋め込まれ、フィボナッチおよびラウスのクォータニオンが一般化されるか？
• RQ2 特性方程式の根に基づくホラダムハイブリッドクォータニオンの閉形式ビネ表現は何か？
• RQ3 ハイブリッドクォータニオンの代数的性質（ノルム、共役、乗法）は、ホラダムに基づく数列へどのように拡張されるか？
• RQ4 カッシーニの恒等式はフィボナッチおよびラウスのハイブリッドクォータニオンへ一般化可能か？その形はどのようなものか？
• RQ5 代数的および再帰的構造の観点から、フィボナッチハイブリッドクォータニオンとラウスハイブリッドクォータニオンの関係は何か？

主な発見

• フィボナッチハイブリッドクォータニオンのビネの公式は $ \widehat{F}_n = \frac{\alpha^n \alpha^* \underline{\alpha} - \beta^n \beta^* \underline{\beta}}{\alpha - \beta} $ として導出され、ここで $ \alpha = 1 + \sqrt{2}, \beta = 1 - \sqrt{2} $ であり、$ \alpha^*, \beta^* $ はハイブリッド共役形を表す。
• フィボナッチハイブリッドクォータニオンのカッシーニ恒等式は $ \widehat{F}_{n+1}\widehat{F}_{n-1} - \widehat{F}_n^2 = (-1)^n \frac{\alpha\alpha^*\beta^*\underline{\alpha}\underline{\beta} - \beta\beta^*\alpha^*\underline{\beta}\underline{\alpha}}{\alpha - \beta} $ であり、ハイブリッド単位を含む特定の代数的構造を持つ。
• ラウスハイブリッドクォータニオンに関しては、カッシーニ恒等式が $ \widehat{L}_{n+1}\widehat{L}_{n-1} - \widehat{L}_n^2 = (-1)^n \sqrt{5} (\alpha\alpha^*\beta^*\underline{\alpha}\underline{\beta} - \beta\beta^*\alpha^*\underline{\beta}\underline{\alpha}) $ として得られ、$ \sqrt{5} $ による直接的なスケーリングが示される。
• ホラダムハイブリッドクォータニオンのノルムは $ \| H_n \| = \sqrt{H_n H_n^c} $ として定義され、共役 $ H_n^c = w_n - w_{n+1} \mathbf{i} - w_{n+2} \boldsymbol{\varepsilon} - w_{n+3} \mathbf{h} $ を用いることで、ハイブリッド代数的構造が保たれる。
• 2つのハイブリッドクォータニオンの乗法は、ハイブリッド単位乗法表を用いた成分ごとの展開により定義され、非可換な代数的系を形成する。
• 本稿では、フィボナッチおよびラウスのハイブリッドクォータニオンが、$ p=2, q=-1 $ および初期条件 $ w_0=0,w_1=1 $ および $ w_0=2,w_1=1 $ を満たすホラダムハイブリッドクォータニオンの特別な場合であることが確立されている。