[論文レビュー] On the Hurewicz homomorphism on the extensions of ideals in $\pi_*^s$ and spherical classes in $H_*Q_0S^0$

Hadi Zare|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 20被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、安定ホモトピーと $Q_0S^0$ のホモロジーにおける球面的クラスの文脈において、Hurewicz準同型を調査しており、$\pi_*^s$ の元が $H_*(Q_0S^0; \mathbb{Z}/2)$ へのHurewicz写像のもとでの像に注目している。アダムスフィルトレーション $k$ を持つ元でHurewicz像が非自明であるようなものについて、そのホモロジー懸垂 $e^*$ による像が非零である場合、$n \geq 2k - 1$ が成り立ち、その像が平方である場合には $n \geq 2k - 2t$ が成り立つ。これは、アダムスフィルトレーションとホモロジー懸垂を用いた球面的クラスの制約を与える。

ABSTRACT

This is about Curtis conjecture on the image of the Hurewicz map $h:{_2\pi_*}Q_0S^0 o H_*(Q_0S^0;\Z/2)$. First, we show that if $f\in{_2\pi_*^s}$ is of Adams filtration at least $3$ with $h(f) eq 0$ then $f$ is not a decomposable element in ${_2\pi_*^s}$. Moreover, it is shown if $k$ is the least positive integer that $f$ is represented by a cycle in $\mathrm{Ext}^{k,k+n}_A(\Z/2,\Z/2)$, then (i) if $e_*h(f) eq 0$ then $n\geqslant 2^k-1$; (ii) if $e_*h(f)=0$ then $n\geqslant 2^k-2^t$ for some $t>1$. Second, for $S\subseteq{_2\pi_{*>0}^s}$ we show that: (i) if the conjecture holds on $S$, then it holds on $\la S a$; (ii) if $h(S)=0$ then $h$ acts trivially on any extension of $S$ obtained by applying homotopy operations arising from ${_2\pi_*}D_rS^n$ with $n>0$. We also provide partial results on the extensions of $\la S a$ by taking (possible) Toda brackets of its elements. We also discuss how the $EHP$-sequence information maybe applied to eliminate classes from being spherical.

研究の動機と目的

• アダムスフィルトレーション $\geq 3$ の元について、$h: \pi_*^s \to H_*(Q_0S^0; \mathbb{Z}/2)$ におけるHurewicz準同型の像を調査すること。
• アダムスフィルトレーションとホモロジー懸垂 $e^*$ の挙動に基づいて、Hurewicz像が非自明な $f \in \pi_n^s$ の次数 $n$ にかかる制約を特定すること。
• 積やToda bracketが $\pi_*^s$ 内でHurewicz写像に与える影響を分析し、特にCurtis予想と関連して考察すること。
• EHP系列とホモトピー作用素が、$H_*(Q_0S^0; \mathbb{Z}/2)$ 内の潜在的な球面的クラスを排除するためにどのように利用できるかを検討すること。

提案手法

• アダムススペクトル系列とストーンロッド代数 $\mathcal{A}$ の構造を用いて、アダムスフィルトレーション $k$ を持つ元を表す $\mathrm{Ext}^{k,k+n}_{\mathcal{A}}(\mathbb{Z}/2, \mathbb{Z}/2)$ の分析を行う。
• ホモロジー懸垂 $e^*: H_*(Q_0S^0; \mathbb{Z}/2) \to H_*(Q_0S^1; \mathbb{Z}/2)$ を適用して、Hurewicz像の台を検出する。
• Snaith分割とToda bracketの安定随伴を用いて、$\pi_*^s$ 内のイデアルの拡張を研究する。
• 評価写像と $H_*(Q_0S^0; \mathbb{Z}/2)$ 上でのストーンロッド代数の作用を用いて、球面的クラスの構造を分析する。
• EHP系列を適用して、$\eta$-および $\nu$-作用を通じて球面的クラスの可能な次数を制約する。
• KuhnのHurewicz写像に関する研究と、同型 $H_*(Q_0S^0; \mathbb{Z}/2) \cong \mathbb{Z}/2[Q_I[1] \ast [-2l(I)]]$ を用いて、$\mathrm{Ext}^{k,k+n}_{\mathcal{A}}(\mathbb{Z}/2, \mathbb{Z}/2)$ 内のサイクルの像を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アダムスフィルトレーションとホモロジー懸垂は、Hurewicz像が非自明な $\pi_*^s$ の元の次数にどのような制約を課えるか？
• RQ2 $H_*(Q_0S^0; \mathbb{Z}/2)$ 内の球面的クラスが、アダムスフィルトレーション $k$ の安定ホモトピー元から生じる条件は何か？
• RQ3 積やToda bracketが $\pi_*^s$ 内でHurewicz像に与える影響は何か？ これはCurtis予想にどのような含意を持つのか？
• RQ4 EHP系列を用いて、$H_*(Q_0S^0; \mathbb{Z}/2)$ 内の潜在的な球面的クラスを排除できるか？
• RQ5 不安定ホップ不変量と一次作用素は、球面的クラスを検出するために果たす役割は何か？

主な発見

• $f \in \pi_n^s$ がアダムスフィルトレーション $k \geq 3$ であり、$h(f) \neq 0$ であるならば、$f$ は $\pi_*^s$ 内で分解可能ではない。
• もし $e^*h(f) \neq 0$ ならば、$f$ がアダムスフィルトレーション $k$ を持つとき、$n \geq 2k - 1$ が成り立つ。
• もし $e^*h(f) = 0$ かつ $h(f) = \xi^{2t}$ で $e^*\xi \neq 0$ ならば、$n \geq 2k - 2t$ が成り立つ。
• 積 $fg$ のHurewicz像が $2\pi_*^s$ 内で非自明であるのは、$f = g$ かつ $f$ が $\eta$、$\nu$、$\sigma$ の奇数倍である場合に限る。すなわち、ホップ不変量1またはカーヴェア不変量1の元である。
• Curtis予想が $\pi_*^s > 0$ の部分集合 $S$ で成り立つならば、$S$ が生成するイデアル $\langle S \rangle$ 上でも成り立つ。
• もし $h(S) = 0$ ならば、$h$ は $n > 0$ に対して $2\pi_*^s D^n S^n$ からホモトピー作用素を用いて得られる $S$ の任意の拡張上で自明に作用する。