[論文レビュー] On the Hurwitz Zeta Function

Lazhar Fekih‐Ahmed|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2011

Analytic Number Theory Research参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、複素平面上の任意の点の周りにおけるローラン展開の係数の閉形式表現を導出することを目的として、Hurwitzゼータ関数 ζ(s,a) に対する新しい積分的および級数的表現を提示する。交項和と生成関数 ψ(t) を用いることで、Re(s) > 0 に対して収束する積分および級数の公式を確立し、積分記号下での微分を用いた解析接続と、ローラン係数の正確な計算を可能にする。

ABSTRACT

We give new integral and series representations of the Hurwitz zeta function. We also provide a closed-form expression of the coefficients of the Laurent expansion of the Hurwitz-zeta function about any point in the complex plane.

研究の動機と目的

• Re(s) > 0 に対して有効な、Hurwitzゼータ関数 ζ(s,a) の新しい積分的および級数的表現を導出すること。
• 複素平面上の任意の点 s₀ の周りにおける (s−1)ζ(s,a)Γ(s) のローラン展開の係数の閉形式表現を提供すること。
• 一様収束する級数および積分の公式を用いて、ζ(s,a) の Re(s) > 1 を超える解析接続を体系的に構成すること。
• 既知のローラン係数に関する結果を一般化し、右半平面内の任意の点 s₀ における計算への拡張を図ること。

提案手法

• n ≥ 1 に対して Sₙ(s,a) = ∑ₖ₌₀ⁿ⁻¹ (−1)ᵏ C(n−1,k) (k+a)⁻ˢ を定義し、級数表現の構築要素とする。
• 積分表現のカーネルとしての補助関数 ψ(t) = [teᵗ/(eᵗ−1)²] − [1/(eᵗ−1)] + [(a−1)t/(eᵗ−1)] を導入する。
• Re(s) > 0 に対して積分公式 (s−1)ζ(s,a) = 1/Γ(s) ∫₀^∞ ψ(t)e⁻⁽ᵃ⁻¹⁾ᵗ tˢ⁻¹ dt を確立する。
• 生成関数と一様収束性を用いて、級数表現 (s−1)ζ(s,a) = ∑ₙ₌₁^∞ Sₙ(s,a) [1/(n+1) + (a−1)/n] を導出する。
• 繰り返し部分積分および積分記号下での微分を用いて、Re(s) > −k への解析接続のための高階積分公式を導出する。
• Weierstrassの定理とべき級数の一意性を用いて、級数および積分表現が複素平面全体に拡張可能であることを正当化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Re(s) > 0 に対して有効であり、かつ Re(s) > 1 の範囲に限定されない、Hurwitzゼータ関数の新しい積分的および級数的表現を導出できるか？
• RQ2 複素平面上の任意の点 s₀ の周りにおける (s−1)ζ(s,a)Γ(s) のローラン展開の係数の閉形式表現は何か？
• RQ3 一様収束する級数および積分の公式を用いて、ζ(s,a) の解析接続を体系的に構成できるか？
• RQ4 Re(s₀) > 0 を満たす任意の s₀ における ζ(s,a) のローラン係数を、導出された積分および級数表現を用いて再帰的に計算できるか？

主な発見

• 本稿では、すべての s に対して Re(s) > 0 を満たす範囲で、新しい積分表現 (s−1)ζ(s,a) = 1/Γ(s) ∫₀^∞ ψ(t)e⁻⁽ᵃ⁻¹⁾ᵗ tˢ⁻¹ dt を確立する。
• 新しい級数表現 (s−1)ζ(s,a) = ∑ₙ₌₁^∞ Sₙ(s,a) [1/(n+1) + (a−1)/n] を導出する。この表現は Re(s) > 0 に対して有効である。
• Re(s₀) > 0 を満たす任意の s₀ の周りにおける (s−1)ζ(s,a)Γ(s) のテイラー展開の係数は、aₙ = 1/n! ∫₀^∞ ψ(t)e⁻⁽ᵃ⁻¹⁾ᵗ (log t)ⁿ tˢ⁰⁻¹ dt で明示的に与えられる。
• s₀ の周りにおける ζ(s,a) のローラン係数 γₙ(a,s₀) を表す再帰的公式が得られる：γₙ(a,s₀) = −1/c₀ ∑ₖ₌₁ⁿ γₙ₋ₖ(a,s₀)cₖ + aₙ ここで cₖ は Γ(s) 展開の係数である。
• 級数および積分表現は Re(s) > 0 に対して一様収束するため、Weierstrassの一意性定理を用いて、ζ(s,a) が複素平面全体に解析接続可能であることが保証される。
• s₀ が右半平面にあれば、導出された公式を用いて、ζ(s,a) のローラン係数を正確かつ再帰的に計算可能であり、Berndtの結果が任意の s₀ にまで拡張される。