[論文レビュー] On the hyperbolic automorphisms of the 2-torus and their Markov partitions

Anosov, Dmitry V., D. V. Anosov+1 more|ArXiv.org|Oct 29, 2008

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 3被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、2次トーラス上の双曲的自己同型写像について、そのマルコフ分割と記号的力学の観点から詳細に解説する。これらの自己同型写像の力学と確率過程との間の対応関係を記号的符号化を通じて確立し、連分数理論と格子に基づく構成を用いて、最も単純なマルコフ分割の新しい分類を提示する。

ABSTRACT

In the paper we give an introduction to Anosov diffeomorphisms, ways to represent their chaotic properties and some historical remarks on this subject. A complete classification of hyperbolic linear automorphisms of 2-torus is presented. We introduce a notion of pre-Markov partition for such automorphisms and give their classification and an algorithm for their construction.

研究の動機と目的

• 記号的力学を通じて、決定的双曲的力学系と確率過程との間の同型性を明確化すること。
• 関連行列の代数的および数論的性質を用いて、双曲的トーラス自己同型写像を分類すること。
• 幾何的および算術的構造に注目しながら、このような自己同型写像の最も単純なマルコフ分割を構成・分析すること。
• 連分数近似と格子点の数え上げに基づいて、最小マルコフ分割の新しい分類を提供すること。
• トーラス上の平行移動を用いて、不安定型と安定型の事前マルコフ分割の間の1対1対応を確立すること。

提案手法

• 決定的系における確率的挙動の出現を説明する教育的モデルとして、円の拡大写像 $ f(x) = 2x \mod 1 $ を用いる。
• 連分数展開を用いて、無理数回転数の片側および両側最良近似を特徴付ける。
• 自己同型写像行列の固有ベクトルと整数格子ベクトルによって定義される平行四辺形の幾何学を用いてマルコフ分割を構成する。
• 連分数理論を用いて、マルコフ分割における基本領域の頂点を定義する近似分数の列を同定する。
• 平行四辺形内の格子点の数え上げを用いて、境界上に固定点をもつ事前マルコフ分割を数える。
• トーラス上の平行移動を用いて $ e_u $-型と $ e_s $-型の事前マルコフ分割の間の1対1対応を確立し、力学的構造を保存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双曲的トーラス自己同型写像のカオス的挙動は、記号的力学を通じてどのように確率過程と厳密に結びつけられるか？
• RQ2 双曲的自己同型写像の2次トーラスに対する最も単純なマルコフ分割の完全な分類は何か？
• RQ3 固有値の連分数近似は、マルコフ分割の構成と構造にどのように関係するか？
• RQ4 事前マルコフ分割が「島型」または「パルケット型」であるかどうかの条件は何か、そしてこの分類は連分数係数にどのように依存するか？
• RQ5 格子幾何学を用いて、指定された固定点を境界上にもつ事前マルコフ分割の数はどのように計算できるか？

主な発見

• 本稿は、トーラス上の平行移動によって誘導される1対1対応を通じて、$ e_u $-型事前マルコフ分割の数と $ e_s $-型事前マルコフ分割の数が等しいことを確立した。
• 事前マルコフ分割が「島型」となるのは、連分数係数 $ l = b_{k+1} $ が、その列における最大近似に対応する場合に限る。
• マルコフ分割における基本平行四辺形の頂点は、収束分数 $ p_k/q_k = [b_0, \dots, b_k] $ で与えられ、中間近似が境界列を形成する。
• 境界上に固定点をもつ事前マルコフ分割の数は、固有ベクトルの方向と固定点の位置によって定義される平行四辺形内の格子点の数に等しい。
• マルコフ分割の構成は、不安定方向に関連する回転数の連分数展開によってアルゴリズム的に決定される。
• 本稿は、連分数近似とトーラス格子の幾何学の相乗作用に基づいて、最小マルコフ分割の新しい分類を提供した。