[論文レビュー] On the Hyperbolicity of Small-World and Tree-Like Random Graphs

Wei Chen, Wenjie Fang+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 9, 2012

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 40被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、スモールワールドおよび木に類似したランダムグラフのGromov $\delta$-超曲率を分析し、分散ルーティングに最適なKleinbergのスモールワールドモデル（$\gamma = d$）でさえ、$\delta = \Omega((\log n)^{1/(1.5(d+1)+\varepsilon)})$ という低い超曲率を示すことを示している。これは、効率的なナビゲーションにもかかわらず、木に類似した性質が限定的であることを示している。リング付き木構造は定数超曲率を維持するが、リング距離に基づく指数関数的減衰確率でない長距離リンクの追加は、この性質を破壊する。

ABSTRACT

Hyperbolicity is a property of a graph that may be viewed as being a "soft" version of a tree, and recent empirical and theoretical work has suggested that many graphs arising in Internet and related data applications have hyperbolic properties. We consider Gromov's notion of δ-hyperbolicity, and establish several results for small-world and tree-like random graph models. First, we study the hyperbolicity of Kleinberg small-world random graphs and show that the hyperbolicity of these random graphs is not significantly improved comparing to graph diameter even when it greatly improves decentralized navigation. Next we study a class of tree-like graphs called ringed trees that have constant hyperbolicity. We show that adding random links among the leaves similar to the small-world graph constructions may easily destroy the hyperbolicity of the graphs, except for a class of random edges added using an exponentially decaying probability function based on the ring distance among the leaves. Our study provides one of the first significant analytical results on the hyperbolicity of a rich class of random graphs, which shed light on the relationship between hyperbolicity and navigability of random graphs, as well as on the sensitivity of hyperbolic δ to noises in random graphs.

研究の動機と目的

• 代表的なランダムグラフモデル、特にKleinbergのスモールワールドモデルおよびリング付き木モデルの超曲率を解析的に特徴づけること。
• 特に分散ルーティングに最適化されたモデルにおいて、超曲率とナビゲーション可能性の関係を調査すること。
• 木に類似した構造に長距離エッジを追加するようなランダムな摂動に対して、超曲率のロバスト性を評価すること。
• スモールワールドネットワークにおける効率的なルーティングが、コンパクトルーティングや距離ラベルリングに関連する強い超曲率と相関するかどうかを特定すること。
• 標準的なネットワーク生成プロセスにおけるランダムネスに対してよりロバストな代替の超曲率測度やモデルが存在するかを検討すること。

提案手法

• 長距離エッジがノード間のグリッド距離の逆数の $\gamma$ 乗に比例する確率で追加されるKleinbergのスモールワールドモデル ${\it KSW}(n,d,\gamma)$ を分析。ここで $d_B(u,v)$ はノード $u$ と $v$ 間のグリッド距離を表す。
• Gromovの $\delta$-超曲率定義を用いて木に類似した性質を測定し、$\delta$ パラメータは 0（木）からグラフ直径のおおよそ半分の範囲をとる。
• 確率論的手法と集中不等式を用いて、$\gamma$ と次元 $d$ の異なる値における $\delta$ の高確率での境界を導出する。
• 定理3および系30を用いて、拡張されたリング付き木モデルにおけるリング距離にのみ依存する $\delta$ の上界および下界を確立する。
• 複数の長距離エッジを1ノードに持つ、またはエッジ選択を独立にした変種のリング付き木モデルに結果を拡張し、超曲率境界のロバスト性を示す。
• 異なるグラフ族およびパrameter設定における超曲率レベルを比較し、定数的、対数的、弱い、非超曲率の分類を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kleinbergのスモールワールドモデルで $\gamma = d$ の場合、分散ルーティングに最適化されているが、強い超曲率を示すか？
• RQ2 リング付き木にランダムな長距離エッジをリーフに追加した場合、その超曲率はどのように変化するか？
• RQ3 どの種のエッジ確率分布が、ランダムなリワイヤリング下でもリング付き木の低超曲率を維持するか？
• RQ4 ランダムグラフにおいて、効率的な分散ナビゲーションと高い超曲率の間に乖離があるか？
• RQ5 標準的なネットワーク生成モデルにおけるランダムネスに対して、代替の超曲率測度がよりロバストである可能性はあるか？

主な発見

• Kleinbergのスモールワールドモデルで $\gamma = d$ の場合、超曲率 $\delta$ は任意の $\varepsilon > 0$ に対して $\Omega((\log n)^{1/(1.5(d+1)+\varepsilon)})$ であり、最適なルーティング性能にもかかわらず弱い超曲率を示す。
• $\gamma < d$ の場合、超曲率 $\delta$ はグラフ直径と同程度のオーダーとなり、グラフは超曲率を示さない。
• $\gamma > 3$ かつ $d=1$ の場合、超曲率 $\delta$ は多項式対数的境界を持たず、劣悪な超曲率を示す。
• リング付き木構造は定数超曲率 $\delta = \Theta(1)$ を維持し、強い木に類似した性質を示す。
• リング付き木にランダムな長距離エッジを追加すると、通常は定数超曲率が破壊され、$\delta$ はグラフ直径のオーダーにまで増加する。
• 長距離エッジがリング距離に基づいて指数関数的に減衰する確率で追加される場合に限り、超曲率は定数レベルで維持され、$\delta(RBT(k,2^{-\alpha h(u,v)})) = \Theta(\log n)$ として示された。