[論文レビュー] On the ideals of Secant Varieties to certain rational varieties

Maria Virginia Catalisano, Anthony V. Geramita+1 more|ArXiv.org|Sep 2, 2006

Tensor decomposition and applications参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、射影空間の積のセグレ埋め込み、2つまたは3つの因子をもつセグレ・ヴェロネーゼ埋め込み、およびデル・ペッツォ表面を含む特定の有理的多様体の高次セクアンツ多様体の定義イデアルを決定する。これらのイデアルが関連するテンソルのフラットニングから得られる行列式方程式によって生成されることを証明し、2因子積に限られていた既知の結果を高ランクテンソルへと拡張し、特にセクアンツ直線および平面多様体に関する予想を確認する。

ABSTRACT

If $\X \subset ¶^n$ is a reduced and irreducible projective variety, it is interesting to find the equations describing the (higher) secant varieties of $\X$. In this paper we find those equations in the following cases: $\X = ¶^{n_1} imes... imes¶^{n_t} imes¶^n$ is the Segre embedding of the product and $n$ is "large" with respect to the $n_i$ (Theorem 2.4); $\X$ is a Segre-Veronese embedding of some products with 2 or three factors; $\X$ is a Del Pezzo surface.

研究の動機と目的

• 特定の有理的多様体、特に2つ以上の因子をもつ射影空間の積のセグレ埋め込みの高次セクアンツ多様体の定義イデアルを決定すること。
• 2因子積に限られていた既知のセクアンツ多様体イデアルの行列式的記述を、3因子以上の場合へと拡張すること。
• セクアンツ直線および平面多様体のイデアルがフラットニングの小行列式によって生成されることの予想を検証し、一般化すること。
• 既知の公式と計算ツールを用いて、これらのイデアルの代数的および幾何的性質（Cohen-Macaulay性、リゾリューション、次数など）を分析すること。
• デル・ペッツォ表面および関連する有理的多様体のセクアンツ多様体を、数値的不変量とイデアル構造を用いて比較すること。

提案手法

• セグレ埋め込みに関連する斉次座標テンソルのテンソルフラットニングを用い、セクアンツ多様体イデアルの候補方程式を生成する。
• 文献[GSS]の予想（セクアンツ多様体イデアルがフラットニングの(s+1)×(s+1)小行列式によって生成される）を、3因子積を含む特定のケースで証明する。
• 射影の性質と命題4.1（射影のセクアンツ多様体は元のセクアンツ多様体の射影である）を用い、射影された多様体のイデアルと元の多様体との関係を関係づける。
• CoCoAなどの計算代数システムを用いて、イデアルの生成、Betti数、次数を特定の例で検証する。
• ヒルベルト系列とギアンベリの公式を用い、行列式多様体の次数を計算する既知の結果を適用する。
• 特に一般的高さの場合に有効なEagon-Northcott複体を用い、行列式イデアルの最小自由リゾリューションを記述する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 t ≥ 3 であるt因子積のセグレ埋め込みの高次セクアンツ多様体の定義イデアルは、関連するテンソルのすべての可能なフラットニングの3×3小行列式によって生成されるか？
• RQ2 2または3因子をもつセグレ・ヴェロネーゼ埋め込みのセクアンツ直線および平面多様体のイデアルは、フラットニングからの行列式方程式によって生成されるか？
• RQ3 デル・ペッツォ表面のセクアンツ多様体イデアルは、埋め込みから導かれる特定の4×4行列の3×3小行列式によって生成されるか？
• RQ4 S₈およびD₈のような射影された有理的多様体では、高次セクアンツに異なる幾何的振る舞いを示すにもかかわらず、セクアンツ多様体イデアルが3×3小行列式によって生成されるか？
• RQ5 次数やBetti数といった数値的不変量は、S₈とD₈のような異なる有理的多様体のセクアンツ多様体を区別できるか？

主な発見

• t ≥ 3 であるPⁿ₁×⋯×Pⁿₜのセグレ埋め込みのσ₂(X)のイデアルは、nが十分に大きいとき、関連するテンソルのすべてのフラットニングの3×3小行列式によって生成される。
• P¹×P¹×P¹のセグレ・ヴェロネーゼ埋め込みでは、σ₂(X)のイデアルは、斉次座標から明示的に構成された4×4行列Bの3×3小行列式によって生成される。
• デル・ペッツォ表面S₉のセクアンツ多様体σ₂(S₉)は、4×4行列A₀の3×3小行列式によって定義され、このイデアルは整数的Cohen-Macaulay性をもち、既知のEagon-Northcottリゾリューションを持つ。
• σ₂(S₈)の次数は10であり、σ₂(D₈)の次数とも一致し、両多様体は同一のグレーディングBetti数を持つため、これらの数値的不変量では区別できない。
• σ₃(S₈)は期待通りP⁸を満たすが、σ₃(D₈)はdet(B) = 0によって定義されるハイパーサーフェスであるため、高次セクアンツ挙動に顕著な差が生じる。
• σ₃(S₉)のイデアルはアロンホルト不変量（4次形式）によって生成され、フェルマーの立方多様体をパラメトライズするハイパーサーフェースであることが確認される。