[論文レビュー] On the identifiability of interaction functions in systems of interacting particles

Zhongyang Li, Fei Lu+3 more|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2019

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 28被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、無限粒子極限において、相互作用関数の同定可能性を示す。相対距離に依存する2粒子間相互作用を持つ1次確率系において、観測された軌道から相互作用ポテンシャルを一意に回復可能であるための十分かつ必要条件として、積分作用素の正定値性に等価な強制的条件（coercivity condition）を証明している。解析は、$ L^2 $ 空間における積分核の厳密な正定値性を検証するために、Müntz型定理に依存している。

ABSTRACT

We address a fundamental issue in the nonparametric inference for systems of interacting particles: the identifiability of the interaction functions. We prove that the interaction functions are identifiable for a class of first-order stochastic systems, including linear systems with general initial laws and nonlinear systems with stationary distributions. We show that a coercivity condition is sufficient for identifiability and becomes necessary when the number of particles approaches infinity. The coercivity is equivalent to the strict positivity of related integral operators, which we prove by showing that their integral kernels are strictly positive definite by using Müntz type theorems.

研究の動機と目的

• 粒子軌道からの非パラメトリックな相互作用関数推定における根本的課題である非同定可能性を解消すること。
• 相互作用関数 $\phi$ が観測データから一意に回復可能となる条件を確立すること。
• 特に粒子数が非常に多い極限において、同定可能性を保証する強制的条件の役割を調査すること。
• 関数解析的道具と正定値核を用いて、同定可能性を積分作用素の厳密な正定値性と結びつけること。
• 線形系および定常分布を有する3粒子非線形系のクラスに対して、同定可能性の十分条件を提供すること。

提案手法

• 相対距離に依存するペアワイズ相互作用を持つ1次確率勾配系として相互作用系を定式化する。
• 時間平均分布 $\bar{\rho}_T$ を $L^2(\bar{\rho}_T)$ における推定の自然な測度として導入する。
• 相互作用関数に関連する積分作用素の単射性によって同定可能性を定義する。
• 強制的条件（積分作用素の厳密な正定値性に等価）が同定可能性に対して十分であることを確立する。
• 相互作用ポテンシャルの弱い条件下で、積分核が厳密に正定値であることをMüntz型定理を用いて証明する。
• 正定値核および負定値関数の結果を応用し、線形および非線形系における強制的条件の検証を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相互作用関数 $\phi$ が、相互作用粒子の観測軌道からどのような条件下で同定可能となるか？
• RQ2 無限に多くの粒子を持つ極限において、強制的条件が同定可能性に対して十分かつ必要となるか？
• RQ3 線形系および定常分布を有する非線形系において、強制的条件を検証できるか？
• RQ4 関数 $\phi$ に関連する積分作用素の構造は、同定可能性とどのように関係するか？
• RQ5 正定値核およびMüntz型定理は、積分作用素の厳密な正定値性を確立するために果たす役割は何か？

主な発見

• 強制的条件は、相互作用粒子の1次確率系における相互作用関数 $\phi$ の同定可能性に対して十分である。
• 粒子数 $N \to \infty$ の極限において、強制的条件は同定可能性に対して必要となる。
• 一般の初期分布を有する線形系では、強制的条件が成立し、同定可能性が保証される。
• 定常分布を有する3粒子非線形系では、相互作用ポテンシャル $\Phi(r) = r^{2\beta}$ に対して、ある仮定の下で強制的条件が成立する。
• 核が厳密に正定値である場合、関連する積分作用素は厳密に正定値であることが保証され、これは半直線上でのMüntz型定理を用いて検証される。
• 指数モーメント条件の下で、$\{r^{2k}\}_{k=1}^\infty$ が $L^2([0,\infty), \rho)$ で完備であることから、核が退化していないことが保証され、強制的条件の支持が得られる。