[論文レビュー] On the image of Euler's totient function

Rodney Coleman|ArXiv.org|Oct 12, 2009

Analytic Number Theory Research参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

この論文はオイラーのトーティエント関数 φ(n) の像を調査し、すべての m に対して φ⁻¹(m) が有限であることを証明し、その要素の上限を与える。φ⁻¹(m) が奇数 m > 1 および無限個の偶数 m に対して空であることを確立し、非空のときには奇数解と偶数解の数が等しくなるか、すべてが偶数であることが可能であり、正確に一つの逆像を持つ m は知られていない。これはカーマイクルの予想を支持する。

ABSTRACT

In this article we study certain properties of the image of Euler's totient function; we also consider the structure of the preimage of certain elements of the image of this function.

研究の動機と目的

• 任意の正の整数 m に対して、逆像 φ⁻¹(m) の構造と濃度を分析すること。
• 方程式 φ(n) = m が解をもつ偶数整数 m を特定し、解をもたない場合を同定すること。
• φ⁻¹(m) における奇数解と偶数解の分布、特に奇数および偶数の逆像の間の対称性を調査すること。
• φ⁻¹(m) が偶数のみからなる条件、または奇数解と偶数解の数が等しい条件を分析すること。
• φ(n) = m を満たす n が正確に一つであるような m が存在するかを検討し、カーマイクルの予想を支持または反証すること。

提案手法

• φ の乗法的性質と、n の素因数 p に対する φ(n) = n ∏(1 − 1/p) の公式を利用する。
• 命題 2.1 を適用し、φ⁻¹(m) が区間 (m, A(m)] 内に含まれることを示す。ここで A(m) = m ∏_{p−1|m} p/(p−1) は、m に対して p−1 が整除する素数 p についての積である。
• p|n ならば p−1|φ(n) であるという事実を利用し、φ(n) = m を満たす n の素因数として、p−1 が m を整除するような素数 p のみが可能性があることを示す。
• m = 2^k の場合を分析し、フェルマー素数 F_n = 2^{2^n} + 1 を用いて、奇数解が存在するのはすべての関連する F_n が素数である場合に限ることを示す。
• 偶奇性と乗法的構造を用い、n → 2n の変換により、奇数 s ≥ 3 に対して O(2s) = E(2s) を証明する。
• グプタの結果を応用し、φ⁻¹(2^k) に対しては高々一つの奇数 n が φ(n) = 2^k を満たすことが示され、その存在はフェルマー数の素数性に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの偶数整数 m に対して集合 φ⁻¹(m) が非空となるか？
• RQ2 φ⁻¹(m) における奇数解の最大数は何か？ また、それが φ⁻¹(m) の正確に半分のサイズであるのはいつか？
• RQ3 φ⁻¹(m) が偶数のみからなることは可能か？ そのような状況はどのような条件下で生じるか？
• RQ4 φ⁻¹(m) に正確に一つの要素しか持たないような m が存在するか？ これはカーマイクルの予想とどのように関係するか？
• RQ5 フェルマー数の素数性は、φ(n) = 2^k の奇数解の存在にどのように影響するか？

主な発見

• すべての m ∈ ℕ* に対して φ⁻¹(m) は有限であり、A(m) = m ∏_{p−1|m} p/(p−1) （素数 p についての積）によって上界が与えられる。
• すべての奇数 m > 1 に対して φ⁻¹(m) は空であり、m = 14 のような無限個の偶数 mに対しても空である。
• 奇数 s ≥ 3 に対して、φ(n) = 2s を満たす奇数解の数は偶数解の数に等しく、すなわち |O(2s)| = |E(2s)| である。
• m = 2^k のとき、φ(n) = 2^k を満たす奇数 n は高々一つであり、そのような n が存在するのはすべての関連するフェルマー数 F_n が素数である場合に限る。
• k ≥ 32 のとき、φ(n) = 2^k を満たす奇数 n は存在しない（n ≥ 5 のフェルマー数 F_n が素数でないものと仮定すれば）。
• 正確に一つの要素しか持たない φ⁻¹(m) を持つ m は、現在までに知られていない。これはカーマイクルの予想が成立する可能性を支持する。