[論文レビュー] On the image of l-adic Galois representations for abelian varieties of type I and II

Grzegorz Banaszak, Wojciech Gajda+1 more|ArXiv.org|Jul 14, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 32被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、数体上のアーベル多様体のアーベル分類におけるタイプIおよびIIのl進ガロア表現の像を明示的に計算し、Mumford-Tate、ホッジ、タート、ラング予想をそのような多様体の広いクラスに対して検証する。また、大規模なlに対して、像が自己同型体のl進完備化上のシンプレクティック群のウェイル制限の積であることを示す、セールの開像定理の類似を証明する。

ABSTRACT

In this paper we investigate the image of the $l$-adic representation attached to the Tate module of an abelian variety over a number field with endomorphism algebra of type I or II in the Albert classification. We compute the image explicitly and verify the classical conjectures of Mumford-Tate, Hodge, Lang and Tate, for a large family of abelian varieties of type I and II. In addition, for this family, we prove an analogue of the open image theorem of Serre.

研究の動機と目的

• アーベル分類のタイプIおよびIIのアーベル多様体のテートモジュール上のl進ガロア表現の正確な像を特定すること。
• 複素乗法をもつ広いクラスのアーベル多様体に対して、Mumford-Tate、ホッジ、ラング、タートの古典的予想を検証すること。
• このクラスに対してセールの開像定理の類似を確立することにより、像がl進整数環上の代数群において開であることを示すこと。

提案手法

• 有限体拡張に対するウェイル制限関手 R_{L/K} を用いて、数体上のガロア表現の構造を分析する。
• l進表現のタイプIIアーベル多様体に関するチーのリLie代数および自己同型代数に関する整数版結果を適用する。
• 双線形形式論を用いてウェイルペアリングとガロア作用の整合性を研究する。
• ガロア像のザリスキ閉包と代数的モノドロミー群の交換子部分群を分析する。
• タンケエフおよびリベットのホッジ群とガロア表現に関する結果を応用し、ホッジおよびタート予想を検証する。
• ウィンテンベルガーの定理を用いて、大規模なlに対して像がスカラー変換を含むことを示し、ラング予想を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーベル分類のタイプIまたはIIのアーベル多様体のテートモジュール上のl進ガロア表現の正確な像は何か？
• RQ2 非可換自己同型体代数をもつタイプIおよびIIのアーベル多様体に対して、Mumford-Tate予想は成り立つか？
• RQ3 このクラスのアーベル多様体に対して、セールの開像定理の類似を確立できるか？
• RQ4 与えられた条件を満たすタイプIおよびIIのアーベル多様体に対して、ホッジおよびタート予想は成り立つか？
• RQ5 大規模なlに対して、ガロア表現の像はl進代数群において開かか？

主な発見

• クラスAのアーベル多様体および十分に大きなlに対して、l進ガロア像のザリスキ閉包の交換子部分群は、l以上のl進素数の上でのQ_l上のSp_{2h}のウェイル制限の積に同型である。
• l進モジュラrガロア像の交換子部分群は、有限体k_λ上のウェイル制限のSp_{2h}の積に同型である。
• Mumford-Tate予想は成立する：すべてのlに対して G_l^{alg} = MT(A) ⊗ Q_l が成り立つ。
• タンケエフおよびリベットの技法とホッジ群の分析を組み合わせた方法により、クラスAのアーベル多様体に対してホッジおよびタート予想が検証された。
• すべてのlに対して、ガロア群の像は代数群 G_l^{alg}(Z_l) において開であり、かつスカラー変換の群を含むため、ラング予想が確認された。
• セールの開像定理の類似が証明された：ρ_l(G_F) は C_R(GSp_{(Λ,ψ)})(Z_l) において開であり、有限指数をもつ。