[論文レビュー] On the implementation of the eXtended Finite Element Method (XFEM) for interface problems

Thomas Carraro, Sven E. Wetterauer|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、非適合メッシュを用いた界面問題を解くために、deal.II FEM ライブラリ内でのeXtended Finite Element Method (XFEM) の実装を実用的に行う。数値積分則、拡張された形状関数、界面境界条件の取り扱いを詳細に提示し、強不連続性および弱不連続性の両方において最適収束性を示すが、弱不連続性の場合はブレンド効果に対処する必要がある。

ABSTRACT

The eXtended Finite Element Method (XFEM) is used to solve interface problems with an unfitted mesh. <br>We present an implementation of the XFEM in the FEM-library deal.II. <br>The main parts of the implementation are (i) the appropriate quadrature rule; (ii) the shape functions for the extended part of the finite element formulation; (iii) the boundary and interface conditions. <br>We show how to handle the XFEM formulation providing a code that demonstrates the solution of two exemplary interface problems for a strong and a weak discontinuity respectively. <br>In the weak discontinuity case, the loss of conformity due to the blending effect and its remedy are discussed. <br>Furthermore, the optimal convergence of the presented unfitted method is numerically verified.

研究の動機と目的

• 非適合メッシュを用いたXFEMによる界面問題の高精度な解法を可能にする。
• deal.II有限要素ライブラリ内での堅牢な実装を開発する。
• XFEMにおける数値積分、形状関数、界面境界条件の課題に対処する。
• 弱不連続性問題におけるブレンド効果の分析と緩和を行う。
• 非適合XFEM定式化における最適収束率の数値的検証を行う。

提案手法

• 界面によってカットされる要素に特化した数値積分則を採用する。
• レベルセットを用いた不連続性を組み込んだ拡張形状関数を実装する。
• 変分定式化における弱い強制法を用いて境界および界面条件を適用する。
• メッシュの整合性を必要としないレベルセット関数を用いて界面幾何を記述する。
• 界面を越えて不連続な解を許容する変分定式化を採用する。
• カット要素および拡張自由度を考慮した数値積分技術を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 XFEMは、deal.IIのような現代的なFEMライブラリにおいて、界面問題に効果的に実装可能か？
• RQ2 界面によってカットされる要素における精度を保証するための数値積分戦略は何か？
• RQ3 拡張形状関数およびレベルセット関数は、不連続性のモデル化にどのように寄与するか？
• RQ4 ブレンド効果は弱不連続性問題における収束性にどのような影響を与えるか？
• RQ5 非適合XFEMアプローチによって最適収束率を達成できるか？

主な発見

• 本実装は、強不連続性と弱不連続性の両方を示す代表的な界面問題を効果的に解いた。
• 弱不連続性問題におけるブレンド効果は、収束次数の低下の原因であることが同定された。
• ブレンド効果のための是正策が適用され、最適収束挙動が回復された。
• 強不連続性および弱不連続性の両ケースにおいて、最適収束率が数値的に確認された。
• 提案された数値積分および形状関数戦略により、非適合メッシュ上での界面問題の高精度な解法が可能になった。