[論文レビュー] On the independent subsets of powers of paths and cycles

Pietro Codara, Ottavio M. D’Antona|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2012

Interconnection Networks and Systems参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、パスの $h$ 乗 ($\mathbf{H}_n^{(h)}$) およびサイクルの $h$ 乗 ($\mathbf{M}_n^{(h)}$) の独立部分集合のハッセ図における辺の数の正確な公式を導出する。これは、フィボナッチ数列およびラソス数列の一般化である。パスの場合は、フィボナッチに類似した数列の畳み込みによって辺の数が与えられ、サイクルの場合は $nF_{n-h}^{(h)}$ となる。ここで $F_{n-h}^{(h)}$ は一般化されたフィボナッチ数である。

ABSTRACT

In the first part of this work we provide a formula for the number of edges of the Hasse diagram of the independent subsets of the h-th power of a path ordered by inclusion. For h=1 such a value is the number of edges of a Fibonacci cube. We show that, in general, the number of edges of the diagram is obtained by convolution of a Fibonacci-like sequence with itself. In the second part we consider the case of cycles. We evaluate the number of edges of the Hasse diagram of the independent subsets of the h-th power of a cycle ordered by inclusion. For h=1, and n>1, such a value is the number of edges of a Lucas cube.

研究の動機と目的

• パスのためのフィボナッチ数列とサイクルのためのラソス数列を、パスおよびサイクルの $h$ 乗に拡張することで一般化すること。
• $\mathbf{P}_n^{(h)}$ および $\mathbf{Q}_n^{(h)}$ の独立部分集合のハッセ図における辺の数の閉形式公式を導出すること。
• $\mathbf{H}_n^{(h)}$ の辺の数が、フィボナッチに類似した数列と自身との畳み込みから生じることを確立すること。
• $\mathbf{M}_n^{(h)}$ の辺の数が $nF_{n-h}^{(h)}$ に等しいこと、ここで $F_{n-h}^{(h)}$ は一般化フィボナッチ数であることを示すこと。
• パスおよびサイクルの $h$ 乗における独立部分集合の総数を記述する再帰関係を提示し、$h=1$ の場合に既知の結果を拡張すること。

提案手法

• パス $\mathbf{P}_n^{(h)}$ およびサイクル $\mathbf{Q}_n^{(h)}$ の $h$ 乗を、距離 $h$ 以内の頂点同士が隣接するグラフとして定義する。
• 独立部分集合を、距離 $h$ 以内に 1 が二つ以上存在しないバイナリ文字列として表現する（パスでは線形、サイクルでは巡回的）。
• 再帰関係を用いる：パスでは $p_n^{(h)} = p_{n-1}^{(h)} + p_{n-h-1}^{(h)}$、サイクルでは $q_n^{(h)} = q_{n-1}^{(h)} + q_{n-h-1}^{(h)}$、初期値は小さい $n$ に対して定義する。
• ハッセ図における辺の数 $M_n^{(h)}$ を $n \sum_{k=1}^{\lceil n/(h+1)\rceil} \binom{n-hk-1}{k-1}$ として表現し、これは $nF_{n-h}^{(h)}$ に簡略化される。
• パスの $h$ 乗 $H_n^{(h)}$ の辺の数が、数列 $p_n^{(h)}$ と自身との畳み込みであることを確立する。
• 組合せ的恒等式および独立部分集合と距離制約を満たすバイナリ文字列との間の双対写像を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パスの $h$ 乗の独立部分集合のハッセ図における辺の数は何か？
• RQ2 サイクルの $h$ 乗の独立部分集合のハッセ図における辺の数は、一般化フィボナッチ数とどのように関係するか？
• RQ3 $\mathbf{H}_n^{(h)}$ の辺の数は、フィボナッチに類似した数列と自身との畳み込みとして表現できるか？
• RQ4 $\mathbf{P}_n^{(h)}$ および $\mathbf{Q}_n^{(h)}$ における独立部分集合の総数を記述する再帰関係は何か？
• RQ5 $\mathbf{H}_n^{(h)}$ および $\mathbf{M}_n^{(h)}$ の公式は、$h=1$ の場合の既知のフィボナッチ数列およびラソス数列の結果をどのように一般化するか？

主な発見

• パスの $h$ 乗 $\mathbf{P}_n^{(h)}$ の独立部分集合のハッセ図における辺の数は、$p_n^{(h)}$ と自身との畳み込みで与えられる。ここで $p_n^{(h)}$ は $\mathbf{P}_n^{(h)}$ の独立部分集合の数を数える。
• サイクルの $h$ 乗 $\mathbf{Q}_n^{(h)}$ では、ハッセ図の辺の数は $M_n^{(h)} = nF_{n-h}^{(h)}$ に等しく、ここで $F_{n-h}^{(h)}$ は再帰的定義 $F_k^{(h)} = F_{k-1}^{(h)} + F_{k-h-1}^{(h)}$ によって定義される一般化フィボナッチ数である。
• パスの $h$ 乗 $\mathbf{P}_n^{(h)}$ における独立部分集合の総数は、$n > 2h$ のとき $p_n^{(h)} = p_{n-1}^{(h)} + p_{n-h-1}^{(h)}$ を満たし、$n \leq 2h$ の初期値を伴う。
• サイクルの $h$ 乗 $\mathbf{Q}_n^{(h)}$ における独立部分集合の総数は、$n > 2h+1$ のとき $q_n^{(h)} = q_{n-1}^{(h)} + q_{n-h-1}^{(h)}$ を満たし、$n \leq 2h+1$ のとき $q_n^{(h)} = n+1$ である。
• $h=1$ の場合、$\mathbf{M}_n^{(1)}$ の辺の数は $nF_{n-1}$ に簡略化され、既知のラソス数列の辺の数と一致する。
• 公式 $M_n^{(h)} = n \sum_{k=1}^{\lceil n/(h+1)\rceil} \binom{n-hk-1}{k-1}$ は、$\mathbf{M}_n^{(h)}$ における辺の数の直接的な組合せ的表現を提供する。