[論文レビュー] On the index divisors and monogenity of certain nonic number fields

Omar Kchit|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2023

Analytic Number Theory Research被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、単一の根によって生成されるモニックで不可約な三項式 $ x^9 + ax + b \in \mathbb{Z}[x] $ によって定義される九次数体 $ K $ の指数 $ i(K) $ の素因数を完全に特徴づけている。ニュートン多角形の手法と $ p $-進付値を用いて、各素数 $ p $ に対して $ p \mid i(K) $ となる条件を特定し、$ \nu_p(i(K)) $ を計算するとともに、$ i(K) \neq 1 $ ならば $ K $ は単一生成的でないことを示している。主な貢献は、この分類のためのニャルキエヴィチの問題22に対する完全な解決である。

ABSTRACT

In this paper, for any nonic number field $K$ generated by a root $α$ of a monic irreducible trinomial $F(x)=x^9+ax+b \in \mathbb{Z}[x]$ and for every rational prime $p$, we characterize when $p$ divides the index of $K$. We also describe the prime power decomposition of the index $i(K)$. In such a way we give a partial answer of Problem $22$ of Narkiewicz (\cite{Nar}) for this family of number fields. In particular if $i(K) eq 1$, then $K$ is not mongenic. We illustrate our results by some computational examples.

研究の動機と目的

• 九次数体 $ K $ の指数 $ i(K) $ が、$ x^9 + ax + b \in \mathbb{Z}[x] $ というモニックで不可約な三項式によって定義されるとき、どの有理素数 $ p $ に対して $ p \mid i(K) $ となるかを特定すること。
• 各素数 $ p $ に対して $ p $-進付値 $ \nu_p(i(K)) $ を計算すること、特に $ p = 2, 3 $、および $ p \geq 5 $ の場合について。
• 指数 $ i(K) $ の素数冪分解の完全な特徴づけを提供し、ニャルキエヴィチのリストの問題22の特殊なケースを解決すること。
• このような数体がいつ単一生成的（すなわち $ i(K) = 1 $）で、いつでないかを、指数が非自明であることに基づいて特定すること。
• 具体的な計算例を通じて、$ i(K) $ が 1, 2, 3, 6, 8, または 24 となる場合の理論を実例で示すこと。

提案手法

• $ \mathbb{Q}_p $ 上のニュートン多角形理論を用いて、特に $ p = 2 $ および $ p = 3 $ の場合に、$ F(x) = x^9 + ax + b $ の $ p $ を法とする因数分解を分析すること。
• デデキンドの定理およびオアの定理を応用し、$ p\mathbb{Z}_K $ の因数分解と指数 $ i(K) $ の関係を結びつけること。
• 多項式 $ F(x) $ の判別式 $ \Delta $ 及びその $ p $-進付値 $ \nu_p(\Delta) $ を計算し、$ \mathbb{Z}_K $ における $ p $ の挙動を特定すること。
• 係数 $ a, b $ に対して $ \nu_p(ab) = 0 $ のとき、$ \nu_p(2^{24}a^9 + 3^{18}b^8) = 1 $ であるという条件を用いて、$ \mathbb{Z}[\alpha] $ の整閉性および単一生成性をテストすること。
• ニュートン多角形の構造と $ p $ 上の単純な残差次数を持つ素イデアルの個数を用いて、$ \nu_p(i(K)) $ を評価すること。
• $ (a,b) \mod 4 $, $ \mod 9 $, $ \mod 81 $, および $ \mod 243 $ におけるモジュラー条件を用いて、$ \nu_2(i(K)) $ および $ \nu_3(i(K)) $ を特定すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 九次数体 $ K $ が $ x^9 + ax + b \in \mathbb{Z}[x] $ によって定義されるとき、どの有理素数 $ p $ が指数 $ i(K) $ を割るか？
• RQ2 係数 $ a $ と $ b $ の観点から、$ p = 2 $, $ p = 3 $, および $ p \geq 5 $ に対して $ \nu_p(i(K)) $ の正確な値は何か？
• RQ3 $ \mathbb{Z}[\alpha] $ が整閉である条件は何か。また、$ K $ がいつ単一生成的であるか？
• RQ4 この分類のための $ i(K) $ の素数冪分解を完全に特定できるか？
• RQ5 特定の $ a $ と $ b $ に対して、指数 $ i(K) $ を明示的に計算できるか。また、$ i(K) > 1 $ となる条件は何か？

主な発見

• 係数 $ a = 51 $, $ b = 122 $ のとき、定理2.1のすべての指数条件を満たすため、$ i(K) = 1 $ であり、$ K $ は単一生成的である。
• 係数 $ a = 35 $, $ b = 20 $ のとき、$ (a,b) \equiv (3,4) \mod 8 $ であるため、$ \nu_2(i(K)) \geq 1 $ であり、$ i(K) $ は偶数であり、$ K $ は単一生成的でない。
• 係数 $ a = 1392 $, $ b = 768 $ のとき、$ \nu_2(i(K)) = 1 $ かつ $ \nu_3(i(K)) = 0 $ であるため、$ i(K) = 2 $ であり、$ K $ は単一生成的でない。
• 係数 $ a = 126 $, $ b = 40130 $ のとき、$ \nu_3(i(K)) = 1 $ かつ $ \nu_2(i(K)) = 0 $ であるため、$ i(K) = 3 $ であり、$ K $ は単一生成的でない。
• 係数 $ a = 15381 $, $ b = 6634 $ のとき、$ \nu_2(i(K)) = 1 $ かつ $ \nu_3(i(K)) = 1 $ であるため、$ i(K) = 6 $ であり、$ K $ は単一生成的でない。
• 係数 $ a = 183 $, $ b = 296 $ のとき、$ \nu_2(i(K)) = 3 $ かつ $ \nu_3(i(K)) = 0 $ であるため、$ i(K) = 8 $ であり、$ K $ は単一生成的でない。
• 係数 $ a = 7335 $, $ b = 24184 $ のとき、$ \nu_2(i(K)) = 3 $ かつ $ \nu_3(i(K)) = 1 $ であるため、$ i(K) = 24 $ であり、$ K $ は単一生成的でない。