[論文レビュー] On the inductive blockwise Alperin weight condition for type $\mathsf A$

Zhicheng Feng, Conghui Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2020

Finite Group Theory Research参考文献 31被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、有限体上の特殊線型群およびユニタリ群について、ブロックごとのAlperin重み予想を証明し、ユニポテンツおよび最大デフォルトブロックの誘導的ブロックごとのAlperin重み条件を確立し、半単純な2'-元と軌道代表元を用いて2-ブロックを分類する。既存の結果を拡張し、gcd(n, q−η)ℓ′ が平方自由である型Aの群およびアーベル型のSylow 3-部分群をもつ有限群について、条件を検証する。

ABSTRACT

In this paper we prove the blockwise Alperin weight conjecture for finite special linear and unitary groups, for finite groups with abelian Sylow $3$-subgroups, and verify the inductive blockwise Alperin weight condition for certain cases of groups of type $\mathsf A$. We also give a classification for the 2-blocks of special linear and unitary groups.

研究の動機と目的

• 特殊線型群およびユニタリ群を含む型Aの有限群について、誘導的ブロックごとのAlperin重み（iBAW）条件を検証すること。
• 特殊線型群およびユニタリ群について、すべての素数においてブロックごとのAlperin重み予想を確立すること。
• 定義の特徴が奇数である場合の有限特殊線型群およびユニタリ群の2-ブロックを分類すること。
• ユニポテンツおよび最大デフォルトブロックに関する先行結果を、より広いクラスのブロックおよび素数へと拡張すること。
• アーベル型のSylow 3-部分群をもつ有限群について、ブロックごとのAlperin重み予想を証明すること。

提案手法

• Späth（2013）およびNavarro–Tiep（2011）の還元結果を用い、ブロックごとのAlperin重み予想を、型Aの有限単純群におけるiBAW条件の検証に還元する。
• BrouéによるGLn(ηq)のBrauer対の分類および先行研究によるSLn(ηq)のラジカル部分群構造を応用し、2-ブロックを分析する。
• d-Jordan-カスピダル対および半単純な2'-元の概念を用い、奇数の素数に対する先行作業を一般化して、SLn(ηq)の2-ブロックをパラメトライズする。
• 根の単位根のFrobenius作用および次数条件を用いて定義される、(n,2)-適応可能ブロック記号を2-ブロックのラベル集合として導入する。
• κ(𝔟) を、群の符号付き固定点の数として定義し、これはGLn(ηq)の与えられた2-ブロックが被覆するSLn(ηq)の2-ブロックの数を数える。
• 群作用と軌道数え上げを用い、O₂′(ℤ)-軌道の代表元を走る𝔟およびj=1,…,κ(𝔟) について、(B𝔟)j の集合が、SLn(ηq)のすべての2-ブロックを完全かつ互いに素にパラメトライズすることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユニポテンツおよび最大デフォルトブロックのSLn(ηq)について、すべての素数において誘導的ブロックごとのAlperin重み条件が成り立つか。
• RQ2 gcd(n, q−η)ℓ′ が平方自由である場合、PSLn(ηq)のiBAW条件は検証可能か。
• RQ3 奇数qのSLn(ηq)の2-ブロックの完全なパラメトライズは何か。また、1つのGLn(ηq)の2-ブロックが被覆するSLn(ηq)の2-ブロックの数はいくつか。
• RQ4 アーベル型のSylow 3-部分群をもつ有限群について、ブロックごとのAlperin重み予想は成り立つか。
• RQ5 有限群のLie型のブロックにおけるd-Jordan-カスピダル対分類において、奇数の素数の仮定は必要か。

主な発見

• すべての有限特殊線型群およびユニタリ群およびすべての素数について、ブロックごとのAlperin重み予想が成り立つ。
• すべての素数ℓ（qを割らない）について、SLn(ηq)のユニポテンツおよび最大デフォルトブロックについて、誘導的ブロックごとのAlperin重み条件が検証された。
• gcd(n, q−η)ℓ′ が平方自由である単純群PSLn(ηq)について、iBAW条件が成り立ち、n ≤ 7 の場合、これは予想の成立を示唆する。
• GLn(ηq)の与えられた2-ブロックが被覆するSLn(ηq)の2-ブロックの数は、κ(𝔟)、すなわちブロック記号𝔟におけるO₂′(ℤ)の固定点の数で与えられる。
• O₂′(ℤ)-軌道代表元を走る𝔟およびj=1,…,κ(𝔟) について、(B𝔟)j の集合は、SLn(ηq)のすべての2-ブロックを完全かつ互いに素にパラメトライズする。
• 本結果は、[26, Thm. A(e)]における奇数の素数の仮定が必要であることを示しており、4∣q+η の場合、被覆される2-ブロックの数の上界がκ(𝔟)を超える可能性があるためである。