[論文レビュー] On the inference about the spectra of high-dimensional covariance matrix based on noisy observations-with applications to integrated covolatility matrix inference in the presence of microstructure noise

Ningning Xia, Xinghua Zheng|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2014

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 25被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、観測値がノイズで汚染されている場合の高次元共分散行列に対する2段階のスペクトル推定手法を開発する。特に、マイクロ構造ノイズを伴う高頻度ファイナンスにおける統合共分散行列推定に適用する。ノイズ付き標本共分散行列の極限スペクトル分布（LSD）と真の共分散行列との間の漸近的関係を確立し、修正された事前平均化手法と、Marčenko-Pastur方程式に従うノイズに強い推定量を用いて、一貫したスペクトル推定を可能にする。

ABSTRACT

In practice, observations are often contaminated by noise, making the resulting sample covariance matrix to be an information-plus-noise-type covariance matrix. Aiming to make inferences about the spectra of the underlying true covariance matrix under such a situation, we establish an asymptotic relationship that describes how the limiting spectral distribution of (true) sample covariance matrices depends on that of information-plus-noise-type sample covariance matrices. As an application, we consider the inference about the spectra of integrated covolatility (ICV) matrices of high-dimensional diffusion processes based on high-frequency data with microstructure noise. The (slightly modified) pre-averaging estimator is an information-plus-noise-type covariance matrix, and the aforementioned result, together with a (generalized) connection between the spectral distribution of true sample covariance matrices and that of the population covariance matrix, enables us to propose a two-step procedure to estimate the spectral distribution of ICV for a class of diffusion processes. An alternative estimator is further proposed, which possesses two desirable properties: it eliminates the impact of microstructure noise, and its limiting spectral distribution depends only on that of the ICV through the standard Marčenko-Pastur equation. Numerical studies demonstrate that our proposed methods can be used to estimate the spectra of the underlying covariance matrix based on noisy observations.

研究の動機と目的

• 観測値がノイズで汚染されている場合、特に高頻度金融データにおいて、高次元真共分散行列のスペクトル分布を推定する課題に対処すること。
• ノイズ付き（情報＋ノイズ型）標本共分散行列の極限スペクトル分布（LSD）と、母集団共分散行列のLSDとの間の理論的枠組みを確立すること。
• この枠組みを、高次元拡散過程で観測されるマイクロ構造ノイズを伴う統合共分散行列（ICV）のスペクトル分布推定に適用すること。
• ノイズの影響を受ける高頻度データにおいても、ICVのスペクトル分布を一貫して推定できる2段階手順を提案すること。
• そのLSDが標準的なMarčenko-Pastur方程式を通じてICVにのみ依存するように、マイクロ構造ノイズの影響を除去した代替推定量を設計すること。

提案手法

• 高次元漸近的枠組みの下で、真の標本共分散行列のLSDと情報＋ノイズ型標本共分散行列のLSDとの間の漸近的関係を確立する。
• Marčenko-Pastur方程式を基盤とする、標本共分散行列のLSDと母集団共分散行列との間の一般化された関係を適用する。
• （わずかに修正された）事前平均化推定量をノイズに強いICV行列推定量として用い、自然に情報＋ノイズ型共分散行列を形成する。
• 2段階手順を提案：まず、ノイズ付きの事前平均化推定量のLSDを推定し、次に導出された漸近的関係を用いて、真のICVのLSDに戻す。
• 独立同一分布の標準正規ベクトルの標本共分散行列と漸近的に同等となる代替推定量を導入し、そのLSDが標準的なMarčenko-Pastur方程式を通じてICVにのみ依存することを保証する。
• 誤差項の制御とスペクトルモーメントのほとんど確実収束の確立のため、モーメント条件とノイズの強い混合性仮定に加え、モーメントバウンドとホルダーの不等式を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次元設定下で、ノイズ付き観測に基づく標本共分散行列の極限スペクトル分布（LSD）は、真の母集団共分散行列のLSDとどのように関係するか？
• RQ2 高頻度金融データがマイクロ構造ノイズで汚染されている場合、統合共分散行列（ICV）のスペクトル分布を一貫して推定できるか？
• RQ3 マイクロ構造ノイズの存在下で、事前平均化推定量の漸近的挙動はいかなるものか？ また、そのLSDは真のICVのLSDとどのように関連づけられるか？
• RQ4 そのLSDが標準的なMarčenko-Pastur方程式を通じてICVにのみ依存するように、ノイズに強い推定量を構築できるか？
• RQ5 スペクトルモーメントと推定量のLSDのほとんど確実収束を保証するための、ノイズおよび母過程に必要な十分条件は何か？

主な発見

• ノイズ付き（情報＋ノイズ型）標本共分散行列の極限スペクトル分布（LSD）は、導出された関数的関係を通じて、真の共分散行列のLSDと漸近的に関連づけられる。
• 修正された事前平均化推定量に基づく2段階手順は、高次元漸近的枠組み下で、統合共分散行列（ICV）のLSDを効果的に推定する。
• 提案された代替推定量は、独立同一分布の標準正規ベクトルの標本共分散行列と漸近的に同等であり、そのLSDが標準的なMarčenko-Pastur方程式を通じてICVにのみ依存することを保証する。
• 事前平均化推定量のLSDは、提示されたモーメントおよび混合性条件の下で、ICVとノイズ構造に依存する決定的極限にほとんど確実に収束する。
• 数値実験により、提案手法がマイクロ構造ノイズで汚染された観測に対しても、母共分散行列のスペクトルを正確に推定できることを確認した。
• 有界モーメントおよび強い混合性の仮定の下で、スペクトルモーメント近似の誤差項はほとんど確実に消えるため、LSD推定の一貫性が保証される。