[論文レビュー] On the influence of the cosmological constant on trajectories of light and associated measurements in Schwarzschild de Sitter space

Dmitri Lebedev, Kayll Lake|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2013

Astrophysical Phenomena and Observations被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、null測地線がΛに依存しないにもかかわらず、可観測交差角と相対論的歪みに及ぼす影響を通じて、宇宙定数Λがシュバルツシルト＝デ・シーターモン時空における測定可能な光の屈折に影響することを確立している。Λは測定可能なレンズ効果に観測者に依存する幾何学的構造と角度距離を通じて作用する。本論文は、測定可能な角度の不変一般式を導出し、Λがレンズ効果に及ぼす影響を観測者依存の幾何学的構造と角度距離を通じて解明することで、長年の論争を解決した。

ABSTRACT

In this paper we review and build on the common methods used to analyze null geodesics in Schwarzschild de Sitter space. We present a general technique which allows finding measurable intersection angles of null trajectories analytically, and as one of its applications we establish a general relativistic aberration relationship. The tools presented are used to analyze some standard setups of gravitational deflection of light and gain a clear understanding of the role that the cosmological constant, $Λ$, plays in gravitational lensing phenomena. Through reviewing some recent papers on the topic with the present results in mind, we attempt to explain the major sources of disagreement in the ongoing debate on the subject, which started with Rindler and Ishak's original paper, regarding the influence of $Λ$ on lensing phenomena. To avoid ambiguities and room for misunderstanding we present clear definitions of the quantities used in the present analysis as well as in other papers we discuss.

研究の動機と目的

• 測地線の軌道と測定可能な物理量の違いを明確にすることで、宇宙定数Λが重力レンズ効果に果たす役割を明確化すること。
• SdS時空における観測量と基準系の曖昧な定義に起因する文献上の矛盾を解消すること。
• 任意の観測者と幾何学に適用可能な、測定可能な光線の交差角を計算する一般的で不変な手法を開発すること。
• Λがレンズ効果に影響するのは軌道そのものではなく、観測者の4速度とそれに伴う角度距離の結果として生じる幾何学的構造を通じてであることを示すこと。
• 相対論的歪みを統合し、Λの影響に関する先行研究における矛盾を解消する統一的枠組みを提供すること。

提案手法

• 基本的な時空パラメータと観測者の4速度を用いて、null軌道間の測定可能な交差角の一般的不変公式を導出する。
• シュバルツシルト＝デ・シーターモン時空における標準的な重力レンズ設定にその公式を適用し、Kottler座標と計量 ds² = -f(r)dt² + dr²/f(r) + r²dφ² を使用する。
• Λと観測者の運動に依存する測定可能な角度の依存性を記述する補正因子 h(Λ, U) を導入し、m=0における f(r)/(f(r)Uᵗ - Uʳ) の比から得られる。
• m および θ における1次摂動論を用いて、測定可能な角度距離 D_S および D_L を含む、Λ補正を含むレンズ方程式を導出する。
• 平坦時空で標準形式に還元される一般相対論的歪み方程式を導出し、異なる幾何学的構造および観測者の向きに普遍的に適用可能であることを示す。
• 静止観測者と共動観測者の結果を比較し、異なる時空幾何学的構造と速度効果に起因する、Λ依存の補正がレンズ方程式に異なる形で現れることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 null測地線がΛに依存しないにもかかわらず、シュバルツシルト＝デ・シーターモン時空において宇宙定数Λが測定可能な光の屈折角に影響を及ぼすか？
• RQ2 静止観測者と共動観測者のような異なる観測者フレームは、重力レンズ効果のΛ依存補正をどのように異なる形で生じさせるか？
• RQ3 Λの存在下で、相対論的歪みは光源の観測位置角をどのように修正するか？
• RQ4 一部の研究ではΛがレンズ効果に影響しないと主張している一方で、他の研究では測定可能な影響があるとされているが、その差異の原因は何か？
• RQ5 任意の時空において、座標系や観測者に依存しない測定可能な交差角を計算する一般的で不変な公式を導出可能か？

主な発見

• 宇宙定数Λは、null測地線がΛに依存しないにもかかわらず、観測者に依存する幾何学的構造と角度距離を通じて、測定可能な光の屈折に影響を及ぼす。
• 観測者の4速度と時空計量に依存し、平坦空間では標準的な歪み則に還元される測定可能な交差角の一般的不変公式が導出された。
• 静止観測者の場合、レンズ方程式には補正因子 1/√(1 + ΛD_L²/3) が含まれており、これは角度距離に負のΛ依存補正を示している。
• 共動観測者の場合、補正因子は 1/(1 - √(Λ/3) D_L) に変わり、D_L とともに増大する正のΛ依存項が導入され、静止系の場合よりも強いΛ効果が生じる。
• 近似式 y = D_S θ_M - 4m(D_S - D_L)/(D_L θ_M) (1 + D_L/√3 √Λ + D_L²/3 Λ) により、共動観測者のレンズ方程式においてΛが O(√Λ) および O(Λ) の次数で寄与することが示された。
• 関係式 R_SL = (D_S - D_L)/(1 - √(Λ/3) D_L) + O(θ_E²) により、光源とレンズの間の測定可能な距離が観測者の運動と時空の曲率を通じてΛに依存することが確認された。