[論文レビュー] On the informational completeness of local observables

Isaac H. Kim|arXiv (Cornell University)|May 1, 2014

Quantum Information and Cryptography参考文献 1被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、2次元のギャップを持つ量子多体系に対して、条件付き相互情報量が小さい限り、すべての観測量（非局所的であるものも含む）の期待値が、局所的混合密度行列によって完全に決定されることを確立している。主な結果は、式(1)に示されるトレース距離の上限（式(1)）であり、これは局所的測定からのみグローバル状態の忠実度を検証可能にする。この結果により、面積則の仮定の下で、効率的な状態の検証とトモグラフィーが可能になる。

ABSTRACT

For a general multipartite quantum state, we formulate a locally checkable condition, under which the expectation values of certain nonlocal observables are completely determined by the expectation values of some local observables. The condition is satisfied by ground states of gapped quantum many-body systems in two spatial dimensions, assuming a widely conjectured form of area law is correct. Its implications on the studies of gapped quantum many-body systems, quantum state tomography, and quantum state verification are discussed. These results are based on a partial characterization of states with small yet nonzero conditional mutual information, which may be of independent interest.

研究の動機と目的

• 量子多体系における局所的観測量が情報的に完全である条件を確立すること。
• 量子多体系におけるヒルベルト空間の指数的増大という課題に対処し、複雑さを低減する物理的に妥当な構造（面積則）を同定すること。
• 変分波動関数に依存せずに、グローバル状態再構成と検証のための厳密な局所的証明を与えること。
• 長距離もつれ状態が面積則の下でも、局所的データから忠実に再構成可能であることを示すこと。
• 1つの情報理論的枠組みを通じて、量子状態トモグラフィー、検証、多体物理学の知見を統合すること。

提案手法

• グローバル状態の差と局所的混合密度行列との関係を示すトレース距離の上限（式(1)）を導入する：$||\rho - \sigma||_1 \leq \epsilon(\{\rho_{S_i}\})$。
• 条件付き相互情報量を用いて、摂動に対して安定なトレース距離の局所的・計算可能な上界を導出する。
• 状態が概ね条件付き独立である三部系に適用し、$I(A:C|B) \approx 0$ とする。
• フォン・ノイマンエントロピーの強い部分加法性およびペツの再構成公式を用いて、条件付き相互情報量が小さい状態を特徴付ける。
• 2次元における面積則を活用し、条件付き相互情報量が系サイズとともに減少することを示し、局所的チェック可能な条件を実現する。
• 局所的混合密度行列が整合的であり、かつ上限$\epsilon$が小さい場合、グローバル状態が一意かつ正確に再構成可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子多体系のグローバル状態が、その局所的混合密度行列から完全に再構成可能な条件は何か？
• RQ2 局所的測定データのみを用いて、グローバル状態再構成の正確さをどのように検証できるか？
• RQ3 面積則が、ギャップを持つ2次元系における局所的観測量の情報的完全性をどの程度示唆するか？
• RQ4 長距離もつれ状態でさえ、非局所的相関があるにもかかわらず、局所的データから忠実に再構成可能か？
• RQ5 条件付き相互情報量は、局所的情報からグローバル状態を特徴付ける上で果たす役割は何か？

主な発見

• 条件付き相互情報量が小さい限り、局所的混合密度行列からのグローバル状態再構成が高忠実度で可能であるトレース距離の上限（式(1)）が導出された。
• 上限$\epsilon(\{\rho_{S_i}\})$は局所的データにのみ依存し、グローバル状態の知識が不要であるため、実用的な検証が可能である。
• 面積則を満たす2次元ギャップを持つ系では、条件付き相互情報量が系サイズとともに減少し、上限$\epsilon$が小さくなることが保証される。これにより、局所的情報が情報的に完全であることが保証される。
• 非局所的相関を持つ長距離もつれ状態（$\gamma > 0$）に対しても、この結果は成り立つ。非局所的相関が局所的データからのグローバル状態再構成を妨げないことを示している。
• 局所的混合密度行列が等価であれば、導出された条件下ではグローバル状態も等価である。ギャップを持つ基底状態に対する新たな同値関係が確立された。
• 本手法により、効率的な量子状態検証が可能である。局所的データがターゲット状態と整合的であり、かつ$\epsilon$が小さい場合、準備された状態はターゲット状態に近い。