[論文レビュー] On the initial value problem for the Navier-Stokes equations with the initial datum in critical Sobolev and Besov spaces

D. Q. Khai, N. M. Tri|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2016

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$[\mathbb{R}^d$ における初期データが臨界な同次および非同次ソボレフ空間およびベソフ空間に属する場合、ナビエ＝ストークス方程式の局所的および大域的弱解の存在と一意性を確立する。特に $1 < q \leq 2$ および $d \geq 3$ の場合に焦点を当てる。主な貢献は、熱核の点ごとの減衰を利用する臨界空間における双線形評価であり、これにより $\dot{H}^{\frac{d}{q}-1}_q$ に属する小規模な初期データに対する局所的適切性と大域的存在性が得られる。

ABSTRACT

The existence of local unique mild solutions to the Navier-Stokes equations in the whole space with an initial tempered distribution datum in critical homogeneous or inhomogeneous Sobolev spaces is shown. Especially, the case when the integral-exponent is less than 2 is investigated. The global existence is also obtained for the initial datum in critical homogeneous Sobolev spaces with a norm small enough in suitable critical Besov spaces. The key lemma is to establish the bilinear estimates in these spaces, due to the point-wise decay of the kernel of the heat semigroup.

研究の動機と目的

• 臨界ソボレフ空間およびベソフ空間におけるナビエ＝ストークス方程式の弱解の局所的および大域的存在を確立すること。
• 文献においてあまり検討が進んでいない $q < 2$ の場合の積分指数に関する考察を行うこと。
• 非整数または分数の正則性を持つ臨界同次および非同次ソボレフ空間への適切性理論の拡張を行うこと。
• 特に $d \geq 3$ および $1 < q \leq 2$ の場合に、臨界スケーリングを持つ関数空間における双線形評価を用いた統一的枠組みを提供すること。
• 時間積分性を持つ $L^{2q}$-型ノルムを用いて双線形項を制御することで、$\dot{H}^{\frac{d}{q}-1}_q$ に属する小規模な初期データに対する大域的解の存在を示すこと。

提案手法

• 著者たちは、熱半群 $e^{t\Delta}$ と射影作用素 $\mathbb{P}$ を含む積分方程式を用いた弱解の定式化を用いる。
• 臨界ベソフ空間およびソボレフ空間における非線形項 $B(u,v)(t) = \int_0^t e^{(t-\tau)\Delta} \mathbb{P} \nabla \cdot (u \otimes v)(\tau) \, d\tau$ のための重要な双線形評価を確立する。
• 双線形作用素の正則性と可積分性を制御するため、熱核の点ごとの減衰推定に依存する。
• 特に $\dot{H}^{\frac{d}{q}-1}_q \hookrightarrow \dot{B}^{\frac{d}{q}-1,q}_q \hookrightarrow \dot{B}^{\frac{d+1}{q}-2,2q}_{dq/(d+1-q)}$ のような、同次ベソフ空間とソボレフ空間の間の補間および埋め込み定理を適用する。
• 非線形項を制御するため、$L^{2q}([0,T]; \dot{H}^{\frac{d+2-2q}{q}}_{\frac{dq}{d+1-q}})$ における時間重み付きノルムを用い、固定点定理を適用する。
• 大域的解の結果は、線形部 $e^{t\Delta}u_0$ の $L^{2q}$-ノルムが初期データノルム $\dot{B}^{\frac{d+1}{q}-2,2q}_{dq/(d+1-q)}$ に有界であり、これが $\dot{H}^{\frac{d}{q}-1}_q$ に埋め込まれることを示すことによって得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $d \geq 3$、$1 < q \leq 2$ の場合に、初期データ $u_0 \in \dot{H}^{\frac{d}{q}-1}_q(\mathbb{R}^d)$ で $\text{div}(u_0) = 0$ を満たすとき、ナビエ＝ストークス方程式の弱解が $\dot{H}^{\frac{d}{q}-1}_q$ に属する初期データに対して構成可能か？
• RQ2 特に $q < 2$ の場合に、臨界空間における局所的適切性を保証するための双線形評価は何か？
• RQ3 初期データが $\dot{H}^{\frac{d}{q}-1}_q$ に属する小規模な場合に、解が時間大域的に存在する条件は何か？
• RQ4 ベソフ空間とソボレフ空間の間の埋め込みが、解の正則性および可積分性にどのように影響するか？
• RQ5 熱核の点ごとの減衰を用いて、臨界空間における非線形項の時間可積分性を効果的に得られるか？

主な発見

• $d \geq 3$、$1 < q \leq 2$、初期データ $u_0 \in \dot{H}^{\frac{d}{q}-1}_q(\mathbb{R}^d)$ で $\text{div}(u_0) = 0$ を満たすとき、$L^{2q}([0,T]; \dot{H}^{\frac{d+2-2q}{q}}_{\frac{dq}{d+1-q}}) \cap C([0,T]; \dot{H}^{\frac{d}{q}-1}_q)$ に値をとる一意な局所的弱解が存在する。
• 双線形作用素 $B(u,v)$ は、$L^{2q}([0,T]; \dot{H}^{\frac{d+2-2q}{q}}_{\frac{dq}{d+1-q}}) \times L^{2q}([0,T]; \dot{H}^{\frac{d+2-2q}{q}}_{\frac{dq}{d+1-q}})$ から $L^{\infty}([0,T]; \dot{B}^{\frac{d}{q}-1,q}_q)$ への連続な作用素であり、$\|B(u,v)\|_{L^{\infty}(\dot{B}^{\frac{d}{q}-1,q}_q)} \lesssim \|u\|_{L^{2q}(\dot{H}^{\frac{d+2-2q}{q}}_{\frac{dq}{d+1-q}})} \|v\|_{L^{2q}(\dot{H}^{\frac{d+2-2q}{q}}_{\frac{dq}{d+1-q}})}$ という評価が成り立つ。
• 線形部 $e^{t\Delta}u_0$ は、$\|e^{t\Delta}u_0\|_{L^{2q}([0,T]; \dot{H}^{\frac{d+2-2q}{q}}_{\frac{dq}{d+1-q}})} \simeq \|u_0\|_{\dot{B}^{\frac{d+1}{q}-2,2q}_{dq/(d+1-q)}} \lesssim \|u_0\|_{\dot{H}^{\frac{d}{q}-1}_q}$ を満たし、固定点法の適用が可能になる。
• すべての $T = \infty$ に対して、$\|u_0\|_{\dot{B}^{\frac{d+1}{q}-2,2q}_{dq/(d+1-q)}} \leq \sigma_{q,d}$ を満たすようなある小さな $\sigma_{q,d} > 0$ が存在する場合、大域的解が成立する。これは、$\dot{H}^{\frac{d}{q}-1}_q$ に属する小規模な初期データに対する大域的適切性を示している。
• 従来の研究を拡張し、弱い可積分性を示す $q \leq 2$ の臨界ケースを扱い、$L^{2q}$-型時間可積分性を用いた新しい枠組みを提供する。
• ストークス作用素の分数乗数に依存するのを避ける代わりに、熱核の減衰と補間から導かれる畳み込み型評価を用いる。