[論文レビュー] On the integrability of the co-CR quaternionic structures

Radu Pantilie|arXiv (Cornell University)|May 14, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、多様体上のco-CRハミルトン的構造の可積分性を特徴付ける曲率および一般化されたねじれ条件を確立する。一般次元制約のもとで、ねじれのない適合接続を持つ任意のほぼ$ f $-クaternion的構造は、局所的にハイパーカンプレックス多様体と$({\rm Im}\mathbb{H})^k$の積であることが示され、完全な局所分類が得られ、twistor空間上の正則ベクトル束を用いて新しいco-CRハミルトン的多様体が構成される。

ABSTRACT

We characterise the integrability of any co-CR quaternionic structure in terms of the curvature and a generalized torsion of the connection. Also, we apply this result to obtain, for example, the following. (1) New co-CR quaternionic structures built on vector bundles over a quaternionic manifold M, whose twistor spaces are holomorphic vector bundles over the twistor space Z of M. Moreover, all the holomorphic vector bundles over Z, which are positive and isotypic when restricted to the twistor lines, are obtained this way. (2) Under generic dimensional conditions, any manifold endowed with an almost f-quaternionic structure and a compatible torsion free connection is, locally, a product of a hypercomplex manifold with some power of the space of imaginary quaternions.

研究の動機と目的

• co-CRハミルトン的構造の可積分性を特徴付ける曲率および一般化されたねじれ条件を提供すること。
• クaternion的多様体のtwistor空間上の正則ベクトル束から、新しいco-CRハミルトン的多様体を構成すること。
• 一般次元条件のもとでねじれのない適合接続を持つほぼ$ f $-クaternion的多様体を分類すること。
• twistor空間および正の正則ベクトル束に関する既知の結果を、co-CRハミルトン的設定に一般化すること。

提案手法

• 接続が$\rho: E \to TM$という準同型を備えたベクトル束に作用する一般化されたねじれテンソルを導入し、古典的ねじれ概念を拡張する。
• この一般化されたねじれを用いて、co-CRハミルトン的構造から生じるグラスマン多様体バンドル上の分布の可積分性を分析する。
• 可積分性基準を適用し、クaternion的多様体のtwistor空間上の正則ベクトル束が、twistor直線上で正および同型的である場合、それがベクトル束上に構築されたco-CRハミルトン的多様体のtwistor空間として生じることを示す。
• 主定理を$ f $-クaternion的構造に適用し、$ Q $に誘導される接続の平坦性およびランク条件が局所的積構造を意味することを示す。
• 第一ビアンキ恒等式および曲率分解を用いて、$ V $および$ Q $バンドルの曲率を関連付け、ランク制約のもとで平坦性の同値性を証明する。
• twistor幾何およびオバタ接続を用いて、平坦性と可積分性がハイパーカンプレックス多様体への局所的三複素構造な射影を導くことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 co-CRハミルトン的構造の可積分性を特徴付ける曲率およびねじれ条件は何か？
• RQ2 クaternion的多様体$ M $のtwistor空間上のどの正則ベクトル束が、co-CRハミルトン的多様体のtwistor空間として生じるか？
• RQ3 ねじれのない適合接続を持つほぼ$ f $-クaternion的構造が、ハイパーカンプレックス多様体と$({\rm Im}\mathbb{H})^k$の局所的積であるための条件は何か？
• RQ4 接続の曲率および一般化されたねじれは、対応するほぼco-CRハミルトン的分布の可積分性とどのように関係するか？

主な発見

• co-CRハミルトン的構造の可積分性は、一般化されたねじれの消滅および接続上の特定の曲率条件によって特徴付けられる。
• クaternion的多様体$ M $のtwistor空間$ Z $上のすべての正則ベクトル束で、twistor直線上で正および同型的であるものは、$ M $上のベクトル束上に構築されたco-CRハミルトン的多様体のtwistor空間として生じる。
• ランク条件$\operatorname{rank}E > 4\operatorname{rank}V \geq 8$のもとで、ねじれのない適合接続を持つ任意のほぼ$ f $-クaternion的構造は、局所的にハイパーカンプレックス多様体と$({\rm Im}\mathbb{H})^{\operatorname{rank}V}$の積である。
• $\operatorname{rank}V \geq 3$の下で、$ V $および$ Q $バンドルに誘導される接続が平坦であることは、$ Q $の曲率が消えることと同値である。
• 一般化されたねじれ構成は、co-CR構造から生じるグラスマン多様体バンドル上の分布の可積分性に対する必要十分条件を提供する。
• 結果は、[9, 定理7.2]を$ m=1 $の場合に一般化し、正のチャーン数がより高い状況における正則ベクトル束設定へ拡張する。