[論文レビュー] On the integral of the error term in the Dirichlet divisor problem

Aleksandar Ivić|ArXiv.org|Oct 6, 2005

Analytic Number Theory Research参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ペロンの公式とメリン変換を用いて一般化されたディリクレ除数問題における誤差項 Δₖ(x) の積分を調査する。∫₁ˣ Δₖ(u) du 及びその平均平方について鋭い評価を確立し、特に ∫₁ˣ Δ₂(u) du ≪ x^{3/4} および ∫₁ˣ (∫₁ᵘ Δ₂(t) dt)² du ∼ Cx^{5/2} を証明することで、古典的除数問題における予想された成長率を確認する。

ABSTRACT

Several results are obtained concerning the function $Δ_k(x)$, which represents the error term in the general Dirichlet divisor problem. These include the estimates for the integral of this function, as well as for the corresponding mean square integral. The mean square integral of $Δ_2(x)$ is investigated in detail.

研究の動機と目的

• 小さな k に対して、一般化されたディリクレ除数問題における誤差項 Δₖ(x) の積分を分析すること。
• 複素解析的手法を用いて、∫₁ˣ Δₖ(u) du の点での評価および平均平方評価を導出すること。
• 古典的除数問題の誤差項 Δ₂(x) の平均平方積分の挙動を調査すること。
• 既知の評価を超えて、Δ₂(x) のより鋭い漸近展開が可能かどうかを検討すること。
• 平均平方の結果が Δ(x) のサイズに関する予想およびリーマン・リンドレーフ予想との関連に与える影響を検討すること。

提案手法

• ζᵏ(s) および xˢ/s を含む複素積分として Δₖ(x) を表すためにペロンの逆変換公式を適用する。
• ペロンの公式を積分することで、ζᵏ(s)/(s(s+1)) を含むメリン型積分として ∫₁ˣ Δₖ(u) du の表現を得る。
• ζ(s) のモーメント評価を用いて、Δₖ(u) du の積分を評価し、特に k=2,3 の場合に注目する。
• 複素積分法および1階微分テストを用いて、ヴォロノイ型の明示公式から生じる振動的積分を推定する。
• コーシー＝シュワルツの不等式および誤差関数 F(x) の既知の L² 範囲を用いて、∫Δ₂(u) du の平均平方を制御する。
• 解析接続および積分評価を用いて、臨界帯における Δ₂(x) のメリン変換の評価を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 小さな k、特に k=2 および k=3 の場合に、∫₁ˣ Δₖ(u) du の最良の上界は何か？
• RQ2 x → ∞ のとき、∫₁ˣ Δ₂(u) du の平均平方積分はどのように成長するか？
• RQ3 ベッセル関数による Δ₂(x) の明示公式を用いて、その積分の精密な漸近的評価を導出可能か？
• RQ4 ∫₁ˣ Δ₂(u) du = O(x^{α}) となる最適な指数 α は何か？
• RQ5 平均平方の情報に基づいて、Δ(x) ≪ x^{1/4+ε} の予想される評価を改善可能か？

主な発見

• k=2 の場合、積分 ∫₁ˣ Δ(u) du は ∫₁ˣ Δ(u) du ≪ x^{3/4} を満たし、平均平方積分 ∫₁ˣ (∫₁ᵘ Δ(t) dt)² du は x → ∞ のとき ∼ Cx^{5/2}（C > 0）となる。
• k=3 の場合、積分 ∫₁ˣ Δ₃(u) du ≪ε x^{1+ε} であり、対応する平均平方積分は ≪ε x^{3+ε} である。
• ∫Δ₂(u) du の平均平方が、1 < σ < 3/2 に対して ≪ T^{6-4σ}(log T)^{12-8σ} であることが示され、臨界帯での収束性が確認される。
• 本稿では、Δ(x) ≪ x^{1/4+ε} が成り立つならば、F(x) = -1/(4π²)x log²x + κx log x + λx + G(x)（G(x) = O(x^α)）における α > 3/4 の予想される評価が最適であることを証明する。
• α > 3/4 が必要であることが示され、α < 3/4 を仮定すると、コーシー＝シュワルツの不等式および既知の lim sup |Δ(x)x^{-1/4}| = ∞ を用いて矛盾が生じる。
• 結果は、Δ(x) ≪ x^{1/4+ε} が鋭い評価であるという予想を支持し、α = 3/4 + ε のより洗練された漸近展開が妥当である可能性を示唆する。