[論文レビュー] On the Integration Theory of Equations of Nonholonomic Mechanics

В. В. Козлов|ArXiv.org|Mar 11, 2005

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 3被引用数 45

ひとこと要約

本稿では、不変測度と対称性群を活用することで、非ホロノミック力学系のための新しい統合理論を開発する。既知の第一積分を制約として扱い、解ける対称性群を用いることで、積分可能な系を同定する手法を提案し、一般化されたチャプリジンの球やスーロフ問題といった、不変トーラス上の力学が角度変数と解析的不変測度を用いて準周期運動に還元可能な、新たな積分可能なケースの発見に至る。

ABSTRACT

The paper deals with the problem of integration of equations of motion in nonholonomic systems. By means of well-known theory of the differential equations with an invariant measure the new integrable systems are discovered. Among them there are the generalization of Chaplygin's problem of rolling nonsymmetric ball in the plane and the Suslov problem of rotation of rigid body with a fixed point. The structure of dynamics of systems on the invariant manifold in the integrable problems is shown. Some new ideas in the theory of integration of the equations in nonholonomic mechanics are suggested. The first of them consists in using known integrals as the constraints. The second is the use of resolvable groups of symmetries in nonholonomic systems. The existence conditions of invariant measure with analytical density for the differential equations of nonholonomic mechanics is given.

研究の動機と目的

• ホロノミック系に比べ、非ホロノミック系における完全な統合理論の欠如に取り組む。
• 非ホロノミック系が解析的密度を伴う不変測度を持つ条件を特定する。
• 第一積分を制約として用い、対称性群を用いて非ホロノミック方程式を統合する一般的な枠組みを構築する。
• ハミルトン＝ジャコビ法およびチャプリジン還元法の非ホロノミック設定への適用範囲を拡張する。
• 積分可能な非ホロノミック系における不変トーラスの位相的・力学的構造を分析する。

提案手法

• 滑らかな密度 M(x) を持つ微分方程式に対して、Liouvilleの定理を不変測度に適用し、div(Mf) ≡ 0 を要求する。
• レベル集合 Ec 上で n−2 個の独立な第一積分の存在を用いて、系を2次元の不変多様体に還元する。
• Kolmogorovの定理を適用し、不変トーラス上の力学を定数周波数 λ, μ を持つ角度変数 (x, y) で表現する。
• 小さなパラメータ ε を用いた摂動法を導入し、摂動系における不変測度の存在を検討する。
• 速い変数 (x, y) での平均化を用いて遅い変数 I に対する有効方程式を導出し、得られた平均化系を分析する。
• フーリエ解析と共鳴条件を用いて、無理数比周波数を伴う摂動系において不変測度が存在しないことを特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非ホロノミック系が解析的密度を伴う不変測度をもつのはどのような条件下か？
• RQ2 既知の第一積分を制約として用いることで、新たな積分可能な非ホロノミック系を構築できるか？
• RQ3 解ける対称性群は、非ホロノミック系の可積分性にどのように寄与するか？
• RQ4 積分可能な非ホロノミック系における不変トーラスの位相的・力学的性質は何か？
• RQ5 摂動された非ホロノミック系が解析的密度を伴う不変測度をもたないのはいつか？

主な発見

• 非対称な球が平面を転がる一般化されたチャプリジン問題が、提案手法により可積分であることが示された。
• 固定点をもつ剛体の回転に関するスーロフ問題が、提案フレームワーク下で新たな可積分ケースとして特定された。
• 不変トーラス上では、非ホロノミック可積分系の力学が ẋ = λ/Φ, ẏ = μ/Φ の形に還元可能であり、λ, μ は定数で、Φ は2π周期の滑らかさをもつ。
• 平均化系に解析的密度を伴う不変測度が存在しない場合、摂動系においても同様の不変測度は存在しない。
• n=3 の場合、周波数比 λ/μ が定数でなく、共鳴集合 ∆∩D が空でないならば、摂動系には解析的不変測度が存在しない。
• 平均化系に解析的第一積分が存在しないことは、全摂動系に対しても同様の第一積分が存在しないことを示唆する。