[論文レビュー] On the intelligibility of the universe and the notions of simplicity, complexity and irreducibility

Gregory J. Chaitin|ArXiv.org|Oct 2, 2002

Computability, Logic, AI Algorithms被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、宇宙の理解可能性が圧縮に起因すると主張する。複雑な現象は、単純な理論によって理解され、これはアルゴリズム的情報理論（AIT）によって、それらを生成する最小のプログラムのサイズとして形式化される。本稿は、一部の数学的事実は不可約であることを示し、それらの記述の下限を超えて複雑さを低下させることはできない。これは、数学的および物理的分野における無限の複雑さを示唆し、完全で有限な万物の理論の概念に挑戦する。

ABSTRACT

We discuss views about whether the universe can be rationally comprehended, starting with Plato, then Leibniz, and then the views of some distinguished scientists of the previous century. Based on this, we defend the thesis that comprehension is compression, i.e., explaining many facts using few theoretical assumptions, and that a theory may be viewed as a computer program for calculating observations. This provides motivation for defining the complexity of something to be the size of the simplest theory for it, in other words, the size of the smallest program for calculating it. This is the central idea of algorithmic information theory (AIT), a field of theoretical computer science. Using the mathematical concept of program-size complexity, we exhibit irreducible mathematical facts, mathematical facts that cannot be demonstrated using any mathematical theory simpler than they are. It follows that the world of mathematical ideas has infinite complexity and is therefore not fully comprehensible, at least not in a static fashion. Whether the physical world has finite or infinite complexity remains to be seen. Current science believes that the world contains randomness, and is therefore also infinitely complex, but a deterministic universe that simulates randomness via pseudo-randomness is also a possibility, at least according to recent highly speculative work of S. Wolfram.

研究の動機と目的

• 宇宙が単純さと圧縮を通じて根本的に理解可能かどうかを調査すること。
• プラトンとライプニッツにおける単純さの哲学的根拠を検討し、現代の計算的複雑さの概念と結びつけること。
• 説明とは圧縮であるという考えを、アルゴリズム的情報理論（AIT）を用いて形式化すること。
• 数学的および物理的システムが有限の複雑さを示すか、無限の複雑さを示すかを分析すること。
• 宇宙の見かけ上のランダムネスが本質的ランダムネスか擬似ランダムネスかを評価すること。これは、背後に決定論が存在することを示唆する。

提案手法

• 複雑さをアルゴリズム的情報含量として定義する：与えられた対象を計算する最小のプログラムのサイズ。
• チャイティンの定数 Ω を、アルゴリズム的ランダムネスと無限の複雑さの代表例として用いる。
• Ω がアルゴリズム的に不可約であることを示す：有限の理論では、Ω の自身の複雑さより多くのビットを証明することはできない。
• Ω の無限の複雑さを π の有限の複雑さと比較し、π が見かけ上ランダムであるが、圧縮可能であることを示す。
• 圧縮原理を物理的理論に適用し、観測結果を計算するプログラムとして扱う。
• もし宇宙が決定論的だが見かけ上ランダム（π のように）であれば、有限の複雑さを持つ可能性があるが、もしその中に真のランダムネス（Ω のように）が含まれるならば、無限の複雑さを持つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 宇宙は合理的に理解可能であり得るか？ もし可能ならば、どのような条件下でか？
• RQ2 単純さ、対称性、自然現象の説明可能性との間にはどのような関係があるか？
• RQ3 説明できない数学的事実、すなわちより単純な理論から導けない事実は存在するか？
• RQ4 物理的世界は有限の還元的複雑さを有するか、無限の還元的複雑さを有するか？
• RQ5 自然における見かけ上のランダムネスは、π の桁のように決定論的で擬似ランダムなプロセスによって説明可能か？

主な発見

• 数学的事実は不可約である可能性がある：一部の真実はより単純な理論から導けず、形式的証明の限界を示唆する。
• チャイティンの定数 Ω は最大のアルゴリズム的複雑さを示す：そのビットはアルゴリズム的にランダムであり、圧縮できない。
• Ω の複雑さは無限である。これは、有限の理論が Ω の有限個のビットを越えて計算することはできないことを意味する。
• 対照的に、π は有限の複雑さを持つ。これは、有限のアルゴリズムによって計算可能であるが、統計的にランダムに見える。
• 物理的宇宙は、量子のランダムネスが根本的であるならば無限の複雑さを持つ可能性があるが、Wolfram のセルオートマトンモデルのように擬似ランダムであるならば有限の複雑さを持つ。
• 真のランダムネスと擬似ランダムネスの区別は、宇宙内部からは決定不能であり得る。なぜなら、その区別を識別できるのは外部の観測者に限るからである。