[論文レビュー] On the interaction between velocity increment and energy dissipation in the turbulent cascade

Renner, Ch., Joachim Peinke+1 more|ArXiv.org|Nov 29, 2002

Plant Water Relations and Carbon Dynamics参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、完全に発達した乱流における速度差分とエネルギー散逸の共同統計的進化をモデル化するための確率的マコフ的枠組みを提案する。実験データから二変数のフォッカー・プランク方程式を導出し、速度差分のドリフトがエネルギー散逸に依存しないことが明らかになった。一方、エネルギー散逸率のダイナミクスは対数的散逸率に関して線形であり、これは確定的進化が独立しており、確率的結合は唯一ノイズ項を通じて行われることを示している。

ABSTRACT

We adress the problem of interactions between the longitudinal velocity increment and the energy dissipation rate in fully developed turbulence. The coupling between these two quantities is experimentally investigated by the theory of stochastic Markovian processes. The so-called Markov analysis allows for a precise characterization of the joint statistical properties of velocity increment and energy dissipation. In particular, it is possible to determine the differential equation that governs the evolution along scales of the joint probability density of these two quantities. The properties of this equation provide interesting new insights into the coupling between energy dissipation and velocity incrementas leading to small scale intermittency.

研究の動機と目的

• 完全に発達した乱流における速度差分とエネルギー散逸率の共同統計的性質を特徴づけること。
• コルモゴロフのK41理論の仮定を超えて、速度差分とエネルギー散逸率の相互依存性を調査すること。
• 速度的乱流量のスケール進化を記述するための、データ駆動型でモデルフリーな確率的マコフ過程を構築すること。
• 速度差分とエネルギー散逸の結合が、主に確定的か確率的かの性質を特定すること。
• 導出されたフォッカー・プランク方程式を用いて、すべてのNスケールの共同モーメントを閉形式で記述すること。

提案手法

• 速度差分 $u(r)$ と平均エネルギー散逸率 $\epsilon_r$ の同時確率密度関数（pdf）のスケール進化をモデル化するため、多次元マコフ過程理論を適用する。
• 実験データからドリフトおよび拡散係数を推定し、同時 pdf $p(u(r), \epsilon_r)$ を記述する二変数フォッカー・プランク方程式を構築する。
• ランジュバン方程式の形式を用いて、スケール $r$ の関数として $u(r)$ と $x(r) = \ln(\epsilon_r)$ の確率的ダイナミクスを記述する。係数は経験的に導出される。
• $u(r)$ と $\epsilon_r$ の個別的一変数マコフモデルと比較することで、単純化と結合効果を評価する。
• 係数が $r$、$u$、$x$ に依存するかを分析し、対称性とモーメントの一貫性をテストすることで、モデルを検証する。
• フォッカー・プランク方程式を用いて、物理的モデルを仮定せずに $u(r)^\alpha \epsilon_r^\beta$ のすべてのNスケールの共同モーメントを推定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全に発達した乱流において、速度差分とエネルギー散逸率はスケールを跨いでどのように統計的に共進化するか？
• RQ2 速度差分とエネルギー散逸率の結合は、どの程度確定的か、あるいは確率的か？
• RQ3 $u(r)$ と $\epsilon_r$ の共同統計的挙動は、モデルフリーでデータ駆動型のフォッカー・プランク方程式で記述可能か？
• RQ4 ドリフトおよび拡散係数の $u(r)$ と $\epsilon_r$ に対する関数的依存性は何か？
• RQ5 二変数マコフモデルは、速度差分およびエネルギー散逸の一変数モデルに比べて、どのように単純化または改善されるか？

主な発見

• 速度差分 $D^{(1)}_u(u,x,r)$ のドリフト係数はエネルギー散逸率 $\epsilon_r$ に依存せず、$u(r)$ の確定的進化が $\epsilon_r$ に影響されないことを示している。
• 対数的エネルギー散逸率 $D^{(1)}_x(u,x,r)$ のドリフト係数は $x = \ln(\epsilon_r)$ に関して線形であり、正の勾配を示しており、小スケールにおける $\epsilon_r$ の自己強化的成長を示している。
• 速度差分方程式における確率的項は、$\epsilon_r$ に対してべき乗則的依存性を示し、およそ $\sqrt{\epsilon_r / \bar{\epsilon}}$ に近く、局所的散逸によって駆動される乗法的ノイズであることを示している。
• 二変数ランジュバン方程式では、確定的ダイナミクスが分離している：$u(r)$ は $u(r)$ のみに依存し、$x(r)$ は $x(r)$ のみに依存し、結合は唯一ノイズ項を通じて発生する。
• 二変数における速度差分方程式の簡略化形は、$u \to -u$ に対して対称性を保ち、奇数次のモーメントがエネルギー・カスケードの影響によってのみ生じることを示している。
• 導出されたフォッカー・プランク方程式により、$u(r)^\alpha \epsilon_r^\beta$ のすべてのNスケールの共同モーメントが閉形式で記述可能となり、データのみから完全な統計的特徴付けが可能になった。